Линейные операторы, вариация при отсутствии коммутативности.

[Erleker]

Есть линейный оператор $F$, мне нужно найти вариацию $e^F$, при том, что $[F,\delta F]\ne0$.
Пока только просто написал:

$$\delta e^F = e^{F+\delta F}-e^F= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(F+\delta F)^n-F^n}{n!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-1} F^i\delta F F^{n-1-i}}{n!}$$

Как-то упрощенный ответ вообще получить можно?
Вроде как чем-то должно помочь $\frac{de^{sF}}{ds}$, чем?
Подскажите.

[dsge]

А если $e^F$ вынести за скобки после 2-го равенства?

[Erleker]

dsge

Но чтобы $e^{A+B}=e^Ae^B$, нужно же, чтобы $AB=BA$.

[dsge]

А $[F,\delta F]$ что такое? Скобка Пуассона? В последнем равенстве у возмущения неединичные степени тоже будут. Тогда собрать все слагаемые, содержащие $\delta F$.

[g______d]

https://wj32.org/wp/2013/02/28/frechet- ... -function/

[Erleker]

dsge
Коммутатор. $F \delta F \ne \delta F F$ Степенями выше первой пренебрегаю.

[pogulyat_vyshel]

можно такое представление написать

$$W(t)=\frac{d}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon=0}e^{(A+\epsilon \delta A)t$$

тогда $\dot W=\delta A e^{At}+AW,\quad W(0)=0$. Вам нужно найти $W(1)$ Решение данной задачи Коши должно (я это не проверял) представляться в интегральной форме в терминах $e^{At}$

-- 03.02.2018, 13:34 --

$$W(t)=e^{At}\int_0^te^{-As}\delta Ae^{As}ds$$

[vpb]

Erleker
Пожалуй что, дальше особо не упростишь. Вообще, чтоб понимать, к какому виду желательно преобразовать, надо всю задачу целиком воспринимать, чего я про себя сказать не могу. Во всяком случае, вот что. Первое словосочетание, которое
приходит на ум --- это "формула Кэмпбелла-Хаусдорфа". Это примерно вот что: $e^Ae^B=e^C$, где $C$ --- некоторый "коммутаторный ряд" от $A$ и $B$, который сходится, когда $A$ и $B$ достаточно близки к нулю. Конкретно,
$C=A+B+(1/2)[A,B]+ (1/12)([[A,B],B]+[[B,A],A])+\ldots$,
а дальше члены более высокой степени, по совокупности переменных $A$ и $B$. Более подробно можно прочитать в книге М.М.Постников, Группы и алгебры Ли. Не знаю, полезно Вам это или нет. В английской Википедии написано, что
вроде формула Кэмпбелла-Хаусдорфа используется в КТП.

[Red_Herring]

pogulyat_vyshel в сообщении #1289685 писал(а):

$$W(t)=e^{At}\int_0^te^{-As}\delta Ae^{As}ds$$

Лучше

$$W(t)=\int_0^te^{A(t-s)}\delta Ae^{As}ds$$

поскольку эта формула применима и в случае, когда $e^{As}$ не существует или плохо себя ведет при $s<0$.