2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Линейные операторы, вариация при отсутствии коммутативности.
Сообщение03.02.2018, 11:29 
Заморожен


16/09/15
946
Есть линейный оператор $F$, мне нужно найти вариацию $e^F$, при том, что $[F,\delta F]\ne0$.
Пока только просто написал:
$$\delta e^F = e^{F+\delta F}-e^F= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(F+\delta F)^n-F^n}{n!}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-1} F^i\delta F F^{n-1-i}}{n!}$$
Как-то упрощенный ответ вообще получить можно?
Вроде как чем-то должно помочь $\frac{de^{sF}}{ds}$, чем?
Подскажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные операторы, вариация.
Сообщение03.02.2018, 11:36 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
А если $e^F$ вынести за скобки после 2-го равенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные операторы, вариация.
Сообщение03.02.2018, 11:38 
Заморожен


16/09/15
946
dsge

Но чтобы $e^{A+B}=e^Ae^B$, нужно же, чтобы $AB=BA$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные операторы, вариация при отсутствии коммутативности.
Сообщение03.02.2018, 11:49 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
А $[F,\delta F]$ что такое? Скобка Пуассона? В последнем равенстве у возмущения неединичные степени тоже будут. Тогда собрать все слагаемые, содержащие $\delta F$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные операторы, вариация при отсутствии коммутативности.
Сообщение03.02.2018, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
https://wj32.org/wp/2013/02/28/frechet- ... -function/

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные операторы, вариация при отсутствии коммутативности.
Сообщение03.02.2018, 12:10 
Заморожен


16/09/15
946
dsge
Коммутатор. $F \delta F \ne \delta F F$ Степенями выше первой пренебрегаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные операторы, вариация при отсутствии коммутативности.
Сообщение03.02.2018, 12:17 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
можно такое представление написать
$$W(t)=\frac{d}{d\epsilon}\Big|_{\epsilon=0}e^{(A+\epsilon \delta A)t$$
тогда $\dot W=\delta A e^{At}+AW,\quad W(0)=0$. Вам нужно найти $W(1)$ Решение данной задачи Коши должно (я это не проверял) представляться в интегральной форме в терминах $e^{At}$

-- 03.02.2018, 13:34 --

$$W(t)=e^{At}\int_0^te^{-As}\delta Ae^{As}ds$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные операторы, вариация при отсутствии коммутативности.
Сообщение03.02.2018, 16:58 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Erleker
Пожалуй что, дальше особо не упростишь. Вообще, чтоб понимать, к какому виду желательно преобразовать, надо всю задачу целиком воспринимать, чего я про себя сказать не могу. Во всяком случае, вот что. Первое словосочетание, которое
приходит на ум --- это "формула Кэмпбелла-Хаусдорфа". Это примерно вот что: $e^Ae^B=e^C$, где $C$ --- некоторый "коммутаторный ряд" от $A$ и $B$, который сходится, когда $A$ и $B$ достаточно близки к нулю. Конкретно,
$C=A+B+(1/2)[A,B]+ (1/12)([[A,B],B]+[[B,A],A])+\ldots$,
а дальше члены более высокой степени, по совокупности переменных $A$ и $B$. Более подробно можно прочитать в книге М.М.Постников, Группы и алгебры Ли. Не знаю, полезно Вам это или нет. В английской Википедии написано, что
вроде формула Кэмпбелла-Хаусдорфа используется в КТП.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейные операторы, вариация при отсутствии коммутативности.
Сообщение03.02.2018, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
pogulyat_vyshel в сообщении #1289685 писал(а):
$$W(t)=e^{At}\int_0^te^{-As}\delta Ae^{As}ds$$

Лучше

$$W(t)=\int_0^te^{A(t-s)}\delta Ae^{As}ds$$
поскольку эта формула применима и в случае, когда $e^{As}$ не существует или плохо себя ведет при $s<0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group