2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Одно неравенство в соболевском пространстве
Сообщение03.02.2018, 00:29 


04/06/17
50
Рассматривается задача
$\nabla w_f+f+\text{div} y=0 \quad \text{в}\,  \Omega
w_f=0\quad \text{на}\, \Gamma$,
где $y \in L^2(G)$ и $f+\text{div} y \in H^{-1}$.
Соответствующее обобщенное решение имеет вид
$\int_\Omega \nabla w_f \nabla w dx= \int_\Omega (fw-y \nabla w) dx$.
Помогите понять, почему верно неравенство:
$|| \nabla w_f|| \leqslant || \text{div} y +f || :=\sup\limits_{w\in H^1_0,\, w\ne0}\frac{\int_\Omega(y \nabla w - fw)dx}{|| \nabla w||}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно неравенство в соболевском пространстве
Сообщение03.02.2018, 01:00 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
что такое норма в левой части неравенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно неравенство в соболевском пространстве
Сообщение03.02.2018, 01:03 


04/06/17
50
$||\nabla w_f||^2 = \int_\Omega \nabla w_f \nabla w_f dx = \int_\Omega (f w_f -y \nabla w_f )dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно неравенство в соболевском пространстве
Сообщение03.02.2018, 01:09 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
т.е. $w_f\in H^1_0$ ну значит $\|\nabla w_f\|_{L^2}=\|w_f\|_{H^1}$а дальше есть такой факт: норма линейного функционала $u\mapsto (v,u)$ в гильбертовом пространстве равна $\|v\|$

-- 03.02.2018, 02:11 --

$\int_\Omega \nabla w_f \nabla w dx$ -- это скалярное произведение в $H^1_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно неравенство в соболевском пространстве
Сообщение03.02.2018, 01:27 


04/06/17
50
pogulyat_vyshel
Не понимаю, чем помог нам переход к норме в $H^1_0$. Факт, о котором Вы говорите, я читаю как высказывание : норма такого-то функционала $\upsilon$ равна $||\upsilon||$, то есть, как тавтологию. Где я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно неравенство в соболевском пространстве
Сообщение03.02.2018, 01:44 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
в моей формуле $v$ это элемент гильбертового пространства, а скобки это скалярное произведение

-- 03.02.2018, 03:00 --

Gargantua в сообщении #1289590 писал(а):
тривается задача
$\nabla w_f+f+\operatorname{div} y=0 \quad \text{в}\ \Omega$

между прочим, тут должен лаплас стоять

 Профиль  
                  
 
 Re: Одно неравенство в соболевском пространстве
Сообщение03.02.2018, 02:05 


04/06/17
50
Я понял. $f+\text{div}y$ - функционал, действующий на $H^1_0$, и для него из существования обобщенного решения следует существование элемента $w_f$, причем $||w_f||_{H^1_0}=||f+\text{div} y||_{H^{-1}}$. В чистом виде теорема Рисса. Да, я невнимательно переписал - там действительно лаплас. Спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group