Одно неравенство в соболевском пространстве

[Gargantua]

Рассматривается задача
$\nabla w_f+f+\text{div} y=0 \quad \text{в}\, \Omega
w_f=0\quad \text{на}\, \Gamma$,
где $y \in L^2(G)$ и $f+\text{div} y \in H^{-1}$.
Соответствующее обобщенное решение имеет вид
$\int_\Omega \nabla w_f \nabla w dx= \int_\Omega (fw-y \nabla w) dx$.
Помогите понять, почему верно неравенство:
$|| \nabla w_f|| \leqslant || \text{div} y +f || :=\sup\limits_{w\in H^1_0,\, w\ne0}\frac{\int_\Omega(y \nabla w - fw)dx}{|| \nabla w||}$

[pogulyat_vyshel]

что такое норма в левой части неравенства?

[Gargantua]

$||\nabla w_f||^2 = \int_\Omega \nabla w_f \nabla w_f dx = \int_\Omega (f w_f -y \nabla w_f )dx$

[pogulyat_vyshel]

т.е. $w_f\in H^1_0$ ну значит $\|\nabla w_f\|_{L^2}=\|w_f\|_{H^1}$а дальше есть такой факт: норма линейного функционала $u\mapsto (v,u)$ в гильбертовом пространстве равна $\|v\|$

-- 03.02.2018, 02:11 --

$\int_\Omega \nabla w_f \nabla w dx$ -- это скалярное произведение в $H^1_0$

[Gargantua]

pogulyat_vyshel
Не понимаю, чем помог нам переход к норме в $H^1_0$. Факт, о котором Вы говорите, я читаю как высказывание : норма такого-то функционала $\upsilon$ равна $||\upsilon||$, то есть, как тавтологию. Где я ошибаюсь?

[pogulyat_vyshel]

в моей формуле $v$ это элемент гильбертового пространства, а скобки это скалярное произведение

-- 03.02.2018, 03:00 --

Gargantua в сообщении #1289590 писал(а):

тривается задача
$\nabla w_f+f+\operatorname{div} y=0 \quad \text{в}\ \Omega$

между прочим, тут должен лаплас стоять

[Gargantua]

Я понял. $f+\text{div}y$ - функционал, действующий на $H^1_0$, и для него из существования обобщенного решения следует существование элемента $w_f$, причем $||w_f||_{H^1_0}=||f+\text{div} y||_{H^{-1}}$. В чистом виде теорема Рисса. Да, я невнимательно переписал - там действительно лаплас. Спасибо за помощь.