Исследовать на дифференцируемость ряд

[ioleg19029700]

Исследовать на почленную дифференцируемость ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty{(-1)^k\over {n-x}}$ на множестве $D = \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$
Данный ряд очевидно сходится хотя бы в одной точке. Пусть например $x=0$, тогда в данном случае он сходится по признаку Лейбница. Дифференцируя общий член исходного ряда, получаем общий член ряда производных $u_k = {(-1)^k\over (n-x)^2}$, который непрерывен на $D$. Исследуем ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty {(-1)^k\over (n-x)^2}$ на равномерную сходимость.
Общий член ряда производных при фиксированном $x\in D$ стремится к нулю при $n\to \infty$. Я знаю ответ, что ряд производных сходится равномерно, значит должно выполняться необходимое условие равномерной сходимости ФР. Но я не могу показать это. Ведь раз мы можем взять $x$ сколь угодно близко к $n$ (при $n\ge 1$), то есть $\sup\limits_{x\in D} \big|\frac{(-1)^k}{(n-x)^2}\big|= \sup\limits_{x\in D} \frac{1}{(n-x)^2}=\infty$. Я не могу понять, где моя ошибка. Раз ряд из производных сходится равномерно, то и супремум на $D$ существует (ведь так?). Как можно это показать строго?

[Dan B-Yallay]

ioleg19029700 в сообщении #1289604 писал(а):

Исследовать на почленную дифференцируемость ряд $\sum\limits_{k=1}^\infty{(-1)^k\over {n-x}}$

$n$ фиксированное что ли?

[Otta]

ioleg19029700 в сообщении #1289604 писал(а):

Я знаю ответ, что ряд производных сходится равномерно, значит должно выполняться необходимое условие равномерной сходимости ФР.

Если на клетке с буйволом увидишь надпись "слон"...

[mihaild]

Если в знаменателе $n$, то это просто ряд Гранди с коэффициентом, и со сходимостью у него всё совсем плохо. Видимо, там должно быть $k$.

ioleg19029700 в сообщении #1289604 писал(а):

ряд производных сходится равномерно

Доказать можете?

ioleg19029700 в сообщении #1289604 писал(а):

Раз ряд из производных сходится равномерно, то и супремум на $D$ существует

В общем случае это не так. Например, ряд $x + 0 + 0 + 0 + \ldots$ сходится равномерно на всей прямой, но супремум любой его частичной суммы (кроме пустой) по прямой равен бесконечности.
(или существование супремума чего, вы считаете, должно следовать из равномерной сходимости?)

[ioleg19029700]

Dan B-Yallay, извиняюсь. Не правильно набрал, там конечно же должно быть $k$

-- 03.02.2018, 04:28 --

mihaild
Да, там $k$. Ошибся при печати

-- 03.02.2018, 04:33 --

Otta
Это вы к тому, что я делаю вывод "в обратную сторону"? Это задание попалось мне на одной из контрольных и было сделано мной неверно. Вот сейчас на каникулах просто хочу понять как же всё-таки строго обосновать почленную дифференцируемость ряда. А то что ряд почленно дифференцируем мне известно со слов моего семинариста, который однако не стал пояснять все детали. Но понять очень хочется

[mihaild]

ioleg19029700 в сообщении #1289619 писал(а):

как же всё-таки строго обосновать почленную дифференцируемость ряда

Вы какие-нибудь теоремы про нее знаете? Можете привести полную формулировку?

[thething]

Общий член ряда из производных должен сходиться к нулю равномерно. У Вас же этого нет, например, возьмите последовательность $x_k=\frac{k^2}{k+1}$.

По той же причине и исходный ряд равномерно не сходится

[ex-math]

Нужно вырезать окрестности особенностей и доказывать равномерную сходимость в полученной области.

[ewert]

ioleg19029700 в сообщении #1289604 писал(а):

Ведь раз мы можем взять $x$ сколь угодно близко к $n$ (при $n\ge 1$), то есть $\sup\limits_{x\in D} \big|\frac{(-1)^k}{(n-x)^2}\big|= \sup\limits_{x\in D} \frac{1}{(n-x)^2}=\infty$. Я не могу понять, где моя ошибка.

В том, что Вы пытаетесь брать $x$ сколь угодно близким к $n$. Надо же, наоборот, этот икс зафиксировать и рассматривать любую достаточно малую его окрестность (см. предыдущее сообщение ex-math).

[Otta]

ioleg19029700 в сообщении #1289619 писал(а):

Otta
Это вы к тому, что я делаю вывод "в обратную сторону"?

Нет, это я к тому, что равномерно ряд из производных не сходится - поскольку необходимое условие не выполняется, что Вы тут и показали. И в ответе этого наверняка нет. И не должно быть.

Но Вас не просят доказывать равномерную сходимость ни ряда, ни ряда из производных на всей области. Это достаточное условие, конечно, но слишком мощное. И выше уже написали, что с этим делать. Дифференцируемость - локальное свойство. Функция дифференцируема на множестве, когда она дифференцируема в каждой его точке. Поэтому если взять произвольную точку, накрыть ее удобным подмножеством исходного множества и показать дифференцируемость на нем, этого будет достаточно. Попробуйте.

-- 03.02.2018, 13:31 --

ewert в сообщении #1289641 писал(а):

В том, что Вы пытаетесь брать $x$ сколь угодно близким к $n$

ewert
Но ТС проверял необходимое условие равномерной сходимости. Правильно проверял. Нет ее, равномерной сходимости, что поделаешь. Ну и не надо.

[ioleg19029700]

mihaild
Пусть функции $u_n(x), n=1,2,\ldots$ непрерывно дифференцируемы на отрезке $[a,b]$, и ряд, составленный из их производных равномерно сходится на отрезке [a,b]. Тогда если ряд $\sum\limit_{n=1}^\infty u_n(x)$ сходится хотя бы в одной точке $c\in[a,b]$, то он сходится равномерно на всем отрезке $[a,b]$, его сумма непрерывно дифференцируема и возможно почленное дифференцирование ряда.
Как написал Otta, условие равномерной сходимости ряда на всём множестве - это только достаточное условие. То есть ряд, составленный из производных может сходится не равномерно, но исходный ряд всё же можно почленно дифференцировать (Как в случае данной задачи). То есть для исследования равномерной сходимости всё же нужно использовать именно эту теорему, но модифицировать множество, разбив "проблемную" часть множества $D$ на сегменты $[m+\delta; m+1-\delta]$, где $\delta>0$ сколь угодно мало. А так как ряд, составленный из производных, сходится равномерно на каждом таком сегментике (по признаку Вейерштрасса), то в силу произвольности $\delta$ дифференцирование возможно во всех точках $D$. Следовательно исходный ряд можно почленно дифференцировать.
В связи с этим возникает такой вопрос? Как отличить в подобных теоремах достаточное условие от необходимого? Только зная контрпример?

[thething]

ioleg19029700 в сообщении #1289713 писал(а):

Как отличить в подобных теоремах достаточное условие от необходимого?

Если из $A$ следует $B$, то $A$ достаточно для $B$, а $B$ необходимо для $A$

-- 03.02.2018, 17:25 --

ioleg19029700 в сообщении #1289713 писал(а):

в силу произвольности $\delta$

Тут все-таки не о произвольности надо говорить, а о существовании. Как-то так: пусть $x_0\in(m,m+1)$, тогда найдется такое $\delta>0$, что $x_0\in[m+\delta,m+1-\delta]$. Хотя, может это буквоедство, ведь $x_0$-то произвольно

[ioleg19029700]

thething
В формулировке теоремы часть до слов "Тогда если ряд..." ведь не является частью $A$?

-- 03.02.2018, 17:04 --

thething
Это просто ограничения на класс рядов, к которым применима данная теорема?

[thething]

ioleg19029700
Грубо говоря, все, что идет после слова "Пусть" до слов "Тогда" (или "то") будет достаточным условием (или условиями)

-- 03.02.2018, 18:10 --

Сейчас посмотрел на Вашу формулировку и вот эти слова

ioleg19029700 в сообщении #1289713 писал(а):

если ряд $\sum\limit_{n=1}^\infty u_n(x)$ сходится хотя бы в одной точке $c\in[a,b]$

это тоже часть достаточного условия, т.к. их смело можно записать после "пусть"

[mihaild]

ioleg19029700 в сообщении #1289747 писал(а):

В формулировке теоремы часть до слов "Тогда если ряд..." ведь не является частью $A$?

Тут теорема сформулирована в виде $A \rightarrow (B \rightarrow C)$, где $A$ - равномерная сходимость ряда из производных, $B$ - сходимость ряда в точке, $C$ - заключение. Из этого можно сделать вывод, что $B \rightarrow C$ - необходимое условие для $A$, а $A$ - достаточное условие для $B \rightarrow C$.
А еще можно переписать теорему в виде $(A \wedge B) \rightarrow C$ и получить, что $A \wedge B$ достаточное условие для $C$, а $C$ соответственно необходимое условие для $A \wedge B$.