Связь общего делителя и общего кратного

[CMTV]

Здравствуйте!

Мне удалось доказать следующее:
$ \forall a,b\in\mathbb{Z} \ ab\ \vdots \ \text{ОД}(a,b)$ и их частное равно $\text{ОК(a,b)} $

Доказательство
Обозначим $\text{ОД}(a,b) = d$.
Так как $d$ — общий делитель $a$ и $b$, то $a = dq_1$ и $b=dq_2$.
Перемножим $a$ на $b$ в указанных выше представлениях: $ ab = d^2q_1q_2$
Отсюда же следует, что $ab \ \vdots \ d \Leftrightarrow ab = dk$.
Получается, что $d^2q_1q_2 = dk \Rightarrow k = dq_1q_2 $
Получаем, что $k=aq_2$ и $k=bq_1$ или $k\ \vdots \ a$ и $k \ \vdots \ b$. Следовательно, $k = \text{ОК}(a,b) \ \blacksquare$

---

Проблема в том, что как я не старался, но у меня не выходит доказать более полезный вариант теоремы, а именно:
$ \forall a,b\in\mathbb{Z} \ ab\ \vdots \ \text{НОД}(a,b)$ и их частное равно $\text{НОК(a,b)} $

Очевидно, что беря все больший $\text{ОД}$ в знаменателе, мы будем получать все меньший $\text{ОК}$ (и таким образом можно прийти к $\text{НОК}$). Но кто знает, может, есть $\text{ОК}$и, которые через $\text{ОД}$ не получить...
Как можно это доказать?

[grizzly]

Первая часть:
$ \forall a,b\in\mathbb{Z} \ ab\ \vdots \ \text{НОД}(a,b)$
очевидна, потому как даже $ \forall a,b\in\mathbb{Z} \ a\ \vdots \ \text{НОД}(a,b)$.

Вторую часть удобнее смотреть наоборот, я думаю:
$ \displaystyle \frac{ab}{\text{НОК}(a,b)}=\text{НОД}(a,b)$
Вам нужно проверить, что дробь слева является общим делителем чисел $a,b$ и что она делится на на любой общий делитель этих чисел. Сможете?

[CMTV]

$ab\ \vdots \ \text{НОК}(a,b) = K$, так любое $\text{OK}$ делится нацело на $\text{НОК}$ (тут тоже нужно доказательство, но оно мне известно).

Обозначим за $t$ частное от деления $ab$ на $K$, то есть $ab = Kt$.
По определению $K = aq_1 = bq_2$. Следовательно: $ab = aq_1t = bq_2t$.
Получаем два равенства: $ b = tq_1 \Leftrightarrow b\ \vdots \ t $ и $a=tq_2 \Leftrightarrow a\ \vdots \ t$.
А значит $t = \text{ОД}(a,b)$.

Пусть $t$ не наибольший общий делитель, тогда существует $\text{НОД}(a,b) = t' > t$.
Но тогда $\frac{ab}{t'} = K' = \text{OK}(a,b)$ (по утверждению, доказанному в первом сообщении темы) и причем $K' < K = \text{НОК}(a,b)$. Получили противоречие.
Следовательно, $t = \text{НОД}(a,b) \ \blacksquare$

Все правильно?

grizzly, большое спасибо за наводку. Первую часть доказательства доказал именно по ней. А вот вторую часть сделал по своему. А как доказать так?

grizzly в сообщении #1289241 писал(а):

что она делится на на любой общий делитель этих чисел

-- 02.02.2018, 15:04 --

Ну и вишенка на торте:

Теорема
$\forall a,b \ \text{НОД}(a,b)\ \vdots \ \text{ОД}(a,b)$

Доказательство
Опустим скобки в записях общих делителей и кратных для простоты.
Выше было доказано, что $\frac{ab}{\text{НОД}} = \text{НОК} \Rightarrow ab = \text{НОД}\times\text{НОК}$.

Опять же выше было доказано (в начале темы), что $\frac{ab}{\text{ОД}} = \text{ОК}$ для любых $\text{ОД}$.
Получается, что $ab=\text{ОД}\times\text{ОК}$.
Следовательно: $\text{НОД}\times\text{НОК} = \text{ОД}\times\text{ОК}$.

Но $\text{ОК} = \text{НОК}n$, где $n\in\mathbb{Z}$.

Итого имеем: $\text{НОД}\times\text{НОК} = \text{ОД}\times\text{НОК}\times n $

Сокращаем на $\text{НОК}$: $\text{НОД} = \text{ОД}\times n \Leftrightarrow \text{НОД}(a,b) \ \vdots \ \text{ОД}(a,b) \ \blacksquare$

(Оффтоп)

Даже не подозревал о такой тесной взаимосвязи общих делителей и общих кратных друг с другом и с произведением $ab$...

[grizzly]

CMTV в сообщении #1289439 писал(а):

Первую часть доказательства доказал именно по ней. А вот вторую часть сделал по своему.

Да, у Вас хорошо получилось. С учётом доказанного даже лучше. (Я вообще-то думал в терминах разложения на простые, но Вам, наверное, нужно без этого.)