Задача о механике (двжение точки по прямой)

[rar]

Задача.

Движение точки по прямой задано уравнением $x=At+Bt^2$, где $A=2$ м/c, $B=-0,5$ м/c$^2$. Определить среднюю путевую скорость $<\upsilon>$ движения точки в интервале времени от $t_1=1$ с до $t_2=3$ с.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Мое, видимо, неправильное решение:

Найдем приращение времени: $\Delta t=t_2-t_1=3-1=2$ с.
Найдем мгновенную скорость: $\vec\upsilon_x=\frac{dx}{dt}=(At+Bt^2)'=A+2Bt$.
Для нахождения пути $\Delta s$ воспользуемся формулой:

$$\Delta s=\int\limits_{t}^{t+\Delta t} \upsilon dt$$

.

$$\Delta s=\int\limits_{1}^{3} (A+2Bt)dt=A\int\limits_{1}^{3} tdt+2B\int\limits_{1}^{3} tdt=At\left| \begin{array}{l} 3\\ 1 \end{array} \right.+Bt^2\left| \begin{array}{l} 3\\ 1 \end{array} \right.=A(3-1)+B(9-1)=2A+8B$$

Находим среднюю путевую скорость по формуле:

$$<\upsilon>=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$

$$<\upsilon>=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2A+8B}{2}=A+4B$$

Подставляя численные значения

$$A$$

и

$$B$$

имеем:

$$2*2+8*(-0,5)=0$$

Это конечно неверно. А в ответе написано: $<\upsilon>=0,5$ м/с

Ну вот помогите мне, наконец, хоть что-нибудь решить правильно. И помогите с размерностью, т.е. что с ней надо делать когда подставляешь численные значения в найденные выражения.

[photon]

У меня тоже $0$ получается. Только все гораздо проще.
$<\upsilon>=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$

Размерность нужна для проверки правильности... Ну и просто нужна.... Кстати, у Вас с размерностью ошибка еще в условии:

Цитата:

где $A=2$ м/c, $B=-0,5$ м/c

$B$ должно иметь другую размерность

Добавлено спустя 5 минут 36 секунд:

И дальше из-за того, что Вы подставляете величины $t=1, t=3$, а не $t=1$ c, $t=3$ c, с размерностью все равно неладно получается

[rar]

photon писал(а):

У меня тоже $0$ получается. Только все гораздо проще.
$<\upsilon>=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$

Хм, ну у метя-то метод тоже правильный? И по вашей формуле получается что средняя путевая скорость равна нулю...
Ну так что, это задача решена неверно или что? Ведь в ответе в задачнике далеко не нуль...

photon писал(а):

Размерность нужна для проверки правильности... Ну и просто нужна....

Ну, это значит надо, допустим, вместо B поставить $-0,5$ м/c$^2$, то есть вместе с размерностью? И так решать, так как размерность ненужная, если все правильно, должна где-нибудь там сократится.

[photon]

rar писал(а):

Ну так что, это задача решена неверно или что? Ведь в ответе в задачнике далеко не нуль...

В задачниках тоже бывают ошибки

rar писал(а):

Ну, это значит надо, допустим, вместо B поставить $-0,5$ м/c$^2$, то есть вместе с размерностью? И так решать, так как размерность ненужная, если все правильно, должна где-нибудь там сократится.

Почему же она ненужная? Если Вы в результате придете к скорости в м/с, это будет хоть каким-то подтверждением, что Вы грубо не ошиблись, потеряв где-то степень или переменную, хотя и не будет гарантией правильности решения.

[rar]

photon писал(а):

В задачниках тоже бывают ошибки

Значит я все сделал верно?
И как это так что бы средняя путевая скорость равнялась нулю? Это что же получается, материальная точка вообще никакого пути не прошла за 2 секунды?

[photon]

rar писал(а):

Это что же получается, материальная точка вообще никакого пути не прошла за 2 секунды?

А вы подставьте и вычислите, где она была в момент $t_1$ и в момент $t_2$

Добавлено спустя 1 минуту 49 секунд:

Но на самом деле и у меня и у Вас решение неверное .

Вспомните, чем отличается путь от перемещения.

[rar]

photon писал(а):

Вспомните, чем отличается путь от перемещения.

Перемещение это вектор проведенный из начала движения на участке в конец движения на этом участке, а путь это длина участка траектории движения.

Ну давайте поподробней, я что-то не догоняю. Все-таки, где неверно и что именно?

Добавлено спустя 8 минут 27 секунд:

Ну так догонять начал, перемещение точки действительно равно нулю. Ну а если она могла выйти из этой точки и потом вернуться в нее, то путь-то не будет нулевым. Ну а если она за время t=2 с вообще не двигалась? Может быть такое? Может тогда путь быть нулевым? Хм, ну а формулы, у меня же там не перемещение а путь...

[Андрей123]

rar писал(а):

Для нахождения пути $\Delta s$ воспользуемся формулой:

$$\Delta s=\int\limits_{t}^{t+\Delta t} \upsilon dt$$

.

Здесь ошибка. Должно быть

$$\Delta s=\int\limits_{t}^{t+\Delta t} |\upsilon| dt$$

.

[Шимпанзе]

Путь тут не причем. Найдите скорости через 1 и 3 сек. Сложите их и разделите на два.

[photon]

Шимпанзе писал(а):

Путь тут не причем. Найдите скорости через 1 и 3 сек. Сложите их и разделите на два.

Это неверный подход.

Средняя скорость определяется как перемещение за все время (для равноускоренного прямолинейного движения, справедливо будет сделать, как вы сказали (и получите ответ:$0$), для более сложного - нет)

Средняя путевая скорость определяется как весь путь, деленный на все время, а путь определяется так, как Выше записал Андрей123

[rar]

Везде эту формулу записывают по разному. Я так понял там должен стоять вектор мгновенной скорости?

$$\Delta s=\int\limits_{t}^{t+\Delta t} |\vec\upsilon| dt$$

Ну попробуем тогда, решить с помощью этой формулы:

$$\Delta s=\int\limits_{1}^{3} |A+2Bt| dt=\frac{1}{2B}\int\limits_{1}^{3} |A+2Bt|(A+2Bt)' dt=$$

$$=\frac{1}{2B}\int\limits_{1}^{3} |A+2Bt| d(A+2Bt)=\frac{1}{2B}\int\limits_{A+2B}^{A+6B} |\lambda| d\lambda$$

Ну тут у меня возникает заминка с интегрированием интеграла содержащего знак модуля.

[abc_qmost]

rar писал(а):

Задача.

Движение точки по прямой задано уравнением $x=At+Bt^2$, где $A=2$ м/c, $B=-0,5$ м/c$^2$. Определить среднюю путевую скорость $<\upsilon>$ движения точки в интервале времени от $t_1=1$ с до $t_2=3$ с

Найдите, в какой момент скорость равна 0 и расссмотрите движения до этого момента и после этого момента. Решайте через средние скорости на этих участках. Интегралов не нужно.

[Архипов]

rar писал(а):

Задача.

Движение точки по прямой задано уравнением $x=At+Bt^2$, где $A=2$ м/c, $B=-0,5$ м/c$^2$. Определить среднюю путевую скорость $<\upsilon>$ движения точки в интервале времени от $t_1=1$ с до $t_2=3$ с.
.

Придадим уравнению физическую форму $L=Vo*t+a*t^2/2$ , Vo = 2 м/с, a = -1 м/с^2. За указанный промежуток времени путевая скорость от 1 м/с до 0 и опять до 1 м/с изменилась. Средняя путевая будет (1+0)/2=0,5 м/с. Если она определена как путь/время.

[rar]

Архипов писал(а):

Придадим уравнению физическую форму $L=Vo*t+a*t^2/2$ , Vo = 2 м/с, a = -1 м/с^2. За указанный промежуток времени путевая скорость от 1 м/с до 0 и опять до 1 м/с изменилась. Средняя путевая будет (1+0)/2=0,5 м/с. Если она определена как путь/время.

Можно как-нибудь поподробней, с формулами, а то ничего, если честно, не понятно...

[Шимпанзе]

photon писал(а):

Шимпанзе писал(а):

Путь тут не причем. Найдите скорости через 1 и 3 сек. Сложите их и разделите на два.

Это неверный подход.

В данном случае это верный подход. И получается как в ответе - 0.5.