Лиса, Утка и озеро.

[Dmitriy40]

Geen в сообщении #1288766 писал(а):

Но если скорость лисы, скажем, в 10 раз больше, то лиса выигрывает при старте в любую сторону если утка в центре....

Неа, не выигрывает: при старте в любую сторону лиса удаляется от утки, чего быть не должно по определению. Это для первого, простейшего, варианта стратегии лисы.

wrest
Интересная модификация стратегии лисы. Вроде бы с окружностью решение сохраняется. А вот если таких ближайших точек две (утка движется по биссектрисе угла равностороннего треугольника), в какую сторону лисе бежать? В любую? Но ведь после начала движения лисы утка может чуть довернуть в другую сторону с биссектрисы и ближайшая точка резко "улетит" от лисы через вершину, причём кратчайшим в новую точку станет путь "назад". Получается утка может, двигаясь почти по биссектрисе, заставить лису метаться около середины стороны вплоть до момента когда разница хода для лисы вперёд и назад не снизится до некоего порога и она перестанет метаться и побежит монотонно. Забавный результат, тут тоже есть предельное соотношение скоростей, но это уже другая задача. И для прочих правильных многоугольников не срабатывает, т.е. треугольник получается выделенным случаем.

[wrest]

Geen в сообщении #1288766 писал(а):

Но если скорость лисы, скажем, в 10 раз больше,

По моим прикидкам, если в $\approx 5,9$ раз. Лиса наверное должна бежать к точке пересечения луча выходящего из центра квадрата, проходящего через Утку, и стороны квадрата. Но тут надо посмотреть не сможет ли Утка двигаясь вдоль диагонали квадрата и немного отклоняясь, обмануть Лису. На первый взгляд кажется что нет. Ясно что увеличивая количество сторон многоугольника мы постепенно приближаем ситуацию к окружности где решение есть. Так что подробно рассмотреть, мне кажется, надо только два случая нетупоугольных многоугольников: треугольника и квадрата.

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1288779 писал(а):

чего быть не должно по определению.

По определению чего?

-- 31.01.2018, 12:02 --

wrest в сообщении #1288780 писал(а):

Так что подробно рассмотреть, мне кажется, надо только два случая нетупоугольных многоугольников: треугольника и квадрата.

Мне по-прежнему кажется, что лучше сначала эллипс решить

[Dmitriy40]

Надо точнее оговорить стратегию лисы, потому что если простейшая (движение в сторону уменьшения расстояния) все многоугольники отпадают, лиса останется в дельта-окрестности середины стороны.

Geen в сообщении #1288781 писал(а):

По определению чего?

Стратегии лисы: движение в сторону уменьшения расстояния до утки.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1288779 писал(а):

И для прочих правильных многоугольников не срабатывает, т.е. треугольник получается выделенным случаем.

Да, потому что он остроугольный. Но возможно все-таки еще квадрат.

Dmitriy40 в сообщении #1288779 писал(а):

утка может чуть довернуть в другую сторону с биссектрисы и ближайшая точка резко "улетит" от лисы через вершину, причём кратчайшим в новую точку станет путь "назад".

Да, ну тогда еще раз меняем стратегию Лисы: бежать в точку пересечения луча, который выходит из центра и идет через Утку, с берегом. Тогда малые метания вокруг биссектрисы будут превращаться в малые метания прицельной точки около вершины.

-- 31.01.2018, 12:10 --

Geen в сообщении #1288781 писал(а):

Мне по-прежнему кажется, что лучше сначала эллипс решить

Эллипс слишком э... неопределенная фигура, в смысле там возможно что не для всех эксцентриситетов есть решение. Для очень вытянутых эллипсов (когда у нас не озеро а фактически река) Лисе не хватит никакой позволительной в рамках СТО скорости: Утка просто переплывает на противоположный берег реки.
Ну и длину дуги эллипса считать муторно :)

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1288783 писал(а):

Geen в сообщении #1288781

писал(а):
По определению чего? Стратегии лисы: движение в сторону уменьшения расстояния до утки.

Ну так делаем просто - отказываемся от такой стратегии

[Dmitriy40]

В случае с эллипсом и предложенной wrest стратегией лисы (двигаться кратчайшим путём в ближайшую к утке точку берега) кажется есть вариант аналогичный треугольнику: утке двигаться в окрестности большой полуоси эллипса заставляя лису обежать половину эллипса, а потом (когда пути для лисы вперёд и назад до ближайшей к утке точке на другом берегу сравняются) по прямой к дальнему от лисы берегу. Соотношение скоростей очевидно будет зависеть от сжатия эллипса.

[Geen]

wrest в сообщении #1288784 писал(а):

Ну и длину дуги эллипса считать муторно

А вдруг нам это не понадобиться?

[Dmitriy40]

wrest
Да, с лучом интересно, контрпример пока не придумывается. Хотя для треугольника вроде можно заставить лису обежать две стороны целиком (вместо одной если плыть по высоте или вместо полутора если плыть по биссектрисе).

Geen в сообщении #1288793 писал(а):

А вдруг нам это не понадобиться?

Ну так решайте. Или Вы уже знаете решение и нас подзуживаете?

-- 31.01.2018, 12:33 --

wrest
С лучом для эллипса решение остаётся тем же, плыть вдоль большой полуоси (с другой стороны от лисы) до момента когда расстояния в обе стороны от лисы до высоты на другом берегу станут равными, после чего плыть по этой самой высоте. Лиса обежит почти весь эллипс. Кажется даже чуть раньше можно повернуть, именно луч не даст лисе бежать по кратчайшему пути назад.

[wrest]

Geen в сообщении #1288793 писал(а):

А вдруг нам это не понадобиться?

У меня чего-то нет идей. Вроде кажется, что раз для окружности решение есть, то для эллипса эксцентриситетом близким к единице оно тоже есть. Но сколько так будет продолжаться неясно.

Тут, как я говорил, вероятно нужно какое-то магическое заклинание про аффинное преобразование, которое переводит окружность в наш эллипс. Во что-то это преобразование переводит и скорости Лисы и Утки, так что вероятно что решение где-то тут. Ну то есть, вот если мы смотрим на озеро сверху - оно окружность, а если под углом - то уже эллипс. Но от того как мы на них смотрим, не зависят "реальные" Лиса и Утка. Тогда мы берем максимальную скорость Лисы, делим на минимальную скорость Утки и получаем ответ.
Хорошо, пускай эллипс получен только сжатием, без растяжения (т.е. его большая полуось равна радиусу нашей окружности), в каком-то направлении коэффициент сжатия 3 раза, тогда получаем что критическая скорость равна $4,6\cdot 3=13,8$
Как-то так :)

[Geen]

wrest в сообщении #1288799 писал(а):

магическое заклинание про аффинное преобразование, которое переводит окружность в наш эллипс.

Не поможет - нам надо сохранение расстояний...

-- 31.01.2018, 12:42 --

Dmitriy40 в сообщении #1288796 писал(а):

Или Вы уже знаете решение и нас подзуживаете?

Немного
Но готового (доведённого до формул в радикалах) решения у меня нет - может быть там и будут большие технические трудности

[wrest]

Geen в сообщении #1288801 писал(а):

Не поможет - нам надо сохранение расстояний...

Зато прямые переходят в прямые, а значит кратчайшие маршруты остаются кратчайшими и после преобразования, чего нам и надо.

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1288799 писал(а):

У меня чего-то нет идей.

Ну, идея-то несложная: есть эллипс безопасности (из соотношения угловых скоростей), передвигаемся по нему в наиболее удалённую точку (ну и лиса конечно тоже, оказываемся с ней на разных концах больших полуосей), далее двигаемся по касательной к эллипсу безопасности. Полностью аналогично решению в первом сообщении темы. Точно посчитать длину дуги лисы (да и утки) трудновато, но оценить можно, ну или вольфрам запрячь.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1288806 писал(а):

(ну и лиса конечно тоже, оказываемся с ней на разных концах больших полуосей)

Почему больших а не малых?

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1288808 писал(а):

Почему больших а не малых?

С малых надо будет двигаться не по касательной, а по перпендикуляру. Что даст лишь половину эллипса для лисы, а с большой и по касательной - почти три четверти эллипса. С малой - это как бы движение вверх по первому Вашему рисунку в теме, а с большой - как бы движение вбок.