Вероятность пересечения дуг на сфере

[wrest]

an2ancan
Две пары точек на сфере определяют два больших круга на этой сфере. Выкиньте всё остальное и оставьте только две окружности от этих двух больших кругов. От взаимного расположения этих окружностей (угла между ними) ничего не меняется (вероятность что они совпадают нулевая). Итого у вас остается две окружности пересекающиеся в двух точках, и по две случайных точки на каждой окружности. Вот с этим "материалом" и "работайте".

[an2ancan]

wrest в сообщении #1288402 писал(а):

an2ancan
Две пары точек на сфере определяют два больших круга на этой сфере. Выкиньте всё остальное и оставьте только две окружности от этих двух больших кругов. От взаимного расположения этих окружностей (угла между ними) ничего не меняется (вероятность что они совпадают нулевая). Итого у вас остается две окружности пересекающиеся в двух точках, и по две случайных точки на каждой окружности. Вот с этим "материалом" и "работайте".

Предстваим 2 окуружности на сфере, которые пересекаются в двух точках. (Скажем $O$ и $O'$). Попробуем прикинуть вероятность того, что дуга $AB$, которая находится на одной из окружностей содержит, точку $O$. Это действительно так, если точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от $O$. Вероятность такого события равна $\frac{1}{2}$. Но при этом дуга $AOB$ должна быть короче, чем $AO'B$. В силу симметрии (оружность же), вероятность такого события тоже равна $\frac{1}{2}$. Получается вероятность, того что $AB$ содержит $O$ равна:
$P_{AOB} = \frac{1}{4}$.
Симетрично, и для случая с $CD$:
$P_{COD} = \frac{1}{4}$,
Т.е. вероятность того, что $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ равна:
$P_{AB \cap CD = O} =P_{AOB} \cdot P_{COD} = \frac{1}{16}$.

Но, $AB$ и $CD$ могут так же пересекаться и в точке $O'$, при чем вероятность такого события равна $P_{AB \cap CD = O}$

Тогда полная вероятность пересечения дуг равна сумме этих двух событий, т.е. $\frac{1}{8}$

У меня есть вопрос:

Наверное, нужно еще и рассчитать вероятность того, что окружности пересекаются, ведь окружности могут быть паралеллями. Или как-то доказать, что вероятность такого события равна 0

[slavav]

Большие круги или совпадают или пересекаются, так как все большие круги содержат центр шара.

[an2ancan]

slavav,
Изначально в условии задачи (я мог запутать вас и всех предыдущей попыткой решения), не говорится, что дуги лежат на больших кругах.

[Pphantom]

an2ancan, из упоминания в условии

an2ancan в сообщении #1288137 писал(а):

С какой вероятностью кратчайшие дуги $AB$ и $CD$ пересекаются?

про кратчайшие дуги сразу же следует, что это дуги больших кругов.

[an2ancan]

Я думал, что имелось в виду следующее:
Через 2 точки на сфере можно провести 2 дуги. Соответственно, нас интересует, та что короче.

[slavav]

Имелась в виду кратчайшая кривая между точками на сфере. Такая кривая всегда дуга большого круга.

[wrest]

an2ancan в сообщении #1288607 писал(а):

Через 2 точки на сфере можно провести 2 дуги. Соответственно, нас интересует, та что короче.

Через 2 точке на сфере, не лежащие на одном диаметре, можно провести только одну кратчайшую дугу, и она будет лежать на большом круге. Все остальные линии, проходящие по сфере через эти две точки, будут длиннее.

Не забудьте, что в решении еще рекомендуется указать, что вероятность случаев когда AB или CD являются диаметрами сферы или когда три или четыре точки лежат на одном большом круге, или когда не все точки различны (имеются совпадения) нулевая, и поэтому эти случаи не рассматриваем.

[Pphantom]

an2ancan в сообщении #1288607 писал(а):

Через 2 точки на сфере можно провести 2 дуги. Соответственно, нас интересует, та что короче.

Первое Ваше утверждение тоже неявно предполагает, что это дуги больших кругов. Если малые круги тоже рассматриваются, то через любые две точки их можно провести сколь угодно много.

[an2ancan]

Простите, но я не понял.

slavav в сообщении #1288610 писал(а):

Имелась в виду кратчайшая кривая между точками на сфере. Такая кривая всегда дуга большого круга.

slavav в сообщении #1288610 писал(а):

Через 2 точке на сфере, не лежащие на одном диаметре, можно провести только одну кратчайшую дугу, и она будет лежать на большом круге. Все остальные линии, проходящие по сфере через эти две точки, будут длиннее.

Из того что у меня есть дома, больше всего на сферу похож глобус. Вот можно на глобусе выбрать 2 города, скажем Питер и Магадан. Лежат они почти на одной параллели. Вот как мне провести окружность, через эти 2 точки, чтобы в сечении оказался центр.

Pphantom в сообщении #1288612 писал(а):

Первое Ваше утверждение тоже неявно предполагает, что это дуги больших кругов. Если малые круги тоже рассматриваются, то через любые две точки их можно провести сколь угодно много.

Можно я так же продолжу с Питером и Магаданом. Я как голову не ломал, так и не понял, как нарисовать больше одного круга, через эти 2 точки.

[Pphantom]

an2ancan в сообщении #1288677 писал(а):

Можно я так же продолжу с Питером и Магаданом. Я как голову не ломал, так и не понял, как нарисовать больше одного круга, через эти 2 точки.

Это не слишком удобно. Давайте лучше рассуждать так:

Любое сечение сферы плоскостью является либо большим кругом (если плоскость проходит через центр сферы), либо малым (если не проходит). Если на сфере заданы две точки, то через них можно провести бесконечно много плоскостей, каждая из которых будет давать какое-то сечение сферы. Соответственно, тем самым получится бесконечно много дуг малых кругов, проходящих через эти точки.

Пример с Петербургом и Магаданом неудачен, поскольку при его использовании Вы неявно подыскиваете секущую плоскость, параллельную экватору, а это условие, естественно, оставляет ее только одной.

[an2ancan]

Спасибо, я понял.

[wrest]

an2ancan в сообщении #1288677 писал(а):

Из того что у меня есть дома, больше всего на сферу похож глобус. Вот можно на глобусе выбрать 2 города, скажем Питер и Магадан. Лежат они почти на одной параллели. Вот как мне провести окружность, через эти 2 точки, чтобы в сечении оказался центр.

Резинку натяните чтобы не соскакивала, примерно будет вам большой круг.
Или нитку наибольшей возможной длины.
Яндекс-карты, инструмент "линейка":