Вероятность пересечения дуг на сфере

[an2ancan]

Здравствуйте, помогите решить следующую задачу:
На сфере случайным образом выбираются четыре точки $A, B, C и D$. С какой вероятностью кратчайшие дуги $AB$ и $CD$ пересекаются?

Мои мысли на этот счет:

Разделим сферу на две послусферы по дугам, если две другие точки лежат в разных полусферах, то дуги пересекаются (условие должно выполняться для обеих дуг). Вопрос в том, чтобы выбрать кратчайшую из этих дуг. Ведь может получится так, что условия соблюдены, а кратчайшие дуги не пересекаются.

[DeBill]

Ну, у Вас остался лишь случай, когда каждая из пар точек - в разных полусферах. Тогда каждая из кратчайших дуг проходит через одну из двух точек пересечения граничных окружностей полусфер. И?

[slavav]

an2ancan, решите более простую задачу: дуга $AB$ фиксирована, дуга $CD$ выбирается случайно. Какова вероятность их пересечения?

-- 28.01.2018, 23:23 --

Хотя, возможно, я переусложняю решение.

[venco]

Все возможные точки пересечения кругов (не дуг) равновероятны. Можно рассмотреть возможные положения исходных точек относительно этих пересечений.

[wrest]

an2ancan
Попробуйте продвинуться вот в таком направлении.
Экзотические случаи типа когда три или более точек лежат на одном большом круге, а также когда какая-то пара точек совпадают или диаметрально противоположны, имеют нулевую вероятность, так что такие случаи не рассматриваем, а считаем что точки $A,B,C,D$ -- "в общем положении", т.е. никакие три не лежат на одном большом круге и никакие две не лежат на диаметре и никакие две не совпадают.
Тогда ясно, что большие круги, проведенные через $AB$ и $CD$ пересекаются в двух точках.
Поставим каждой данной точке $A,B,C,D$ в соответствие "точку-антипод" $A_1,B_1,C_1,D_1$ которая лежит на том же диаметре. Ясно, что появление точек $A$ и $A_1$ равновероятно. То же самое в остальных парах. Теперь рассмотрим малые дуги $AB$, $A_1B$, $AB_1$ и так далее с одной стороны и $CD$, $C_1D$ и так далее с другой.
Вопросы:
Сколько всего таких пар малых дуг?
Сколько из этих пар малых дуг пересекаются?

[an2ancan]

Спасибо всем, но я попробую продолжить мысль, предложенную DeBill:

DeBill в сообщении #1288150 писал(а):

Ну, у Вас остался лишь случай, когда каждая из пар точек - в разных полусферах. Тогда каждая из кратчайших дуг проходит через одну из двух точек пересечения граничных окружностей полусфер. И?

получается следущее:

Разделим сферу на 2 полусферы по дуге $AB$. Для того, чтобы $CD$ пересекала $AB$ необходимо, чтобы точки $C$ и $D$ лежали в разных полусферах. Вероятность такого события равна
$P_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,

Поясню, вероятность того, что $C$ и $D$ лежат в разных полусферах равна сумме вероятности того что С лежит, скажем, в первой полусфере, а D во второй, и наоборот.
Но среди получившихся вариантов, не все дуги удовлетворяют требованию, а половина. Т.е. вероятность равна:
$P_{AB} = \frac{1}{2}P_1 = \frac{1}{4}$

Ну и для достаточности нужно чтобы данное условие выполнялось и для дуги $CD$. Т.е. в итоге получаем:
$ P = P_{AB} \cdot P_{CD} = P_{AB}^2 = \frac{1}{16}$

Вот, подскажите, все ли верно в рассуждениях?

[Geen]

an2ancan в сообщении #1288364 писал(а):

Вот, подскажите, все ли верно в рассуждениях?

Кажется, $1/8$ должна быть...

-- 29.01.2018, 22:52 --

an2ancan в сообщении #1288364 писал(а):

Но среди получившихся вариантов, не все дуги удовлетворяют требованию, а половина.

Поясните, пожалуйста.

[slavav]

an2ancan, вероятность $P_{AB}$ вычислена неверно.

[atlakatl]

Средняя длина дуги $1/4$ окружности. Одну дугу фиксируем. Вторая должна попасть в промежуток $2 \cdot 1/4$ для пересечения. Получается $p=1/2$.
Что-то не так, но не пойму что.

[an2ancan]

Geen в сообщении #1288370 писал(а):

Поясните, пожалуйста.

slavav в сообщении #1288371 писал(а):

вероятность $P_{AB}$ вычислена неверно.

Идея была в том, что выбирая 2 точки на разных полусферах, нас интересует, только кратчаяшая дуга, соединяющая эти 2 точки. Вопрос в том, что не все пересекают границу поусфер в нужном месте....

[slavav]

Прошу прощения an2ancan, я был невнимателен. Я вообще не понимаю что такое $P_{AB}$.

-- 29.01.2018, 23:29 --

atlakatl в сообщении #1288378 писал(а):

Средняя длина дуги $1/4$ окружности. Одну дугу фиксируем. Вторая должна попасть в промежуток $2 \cdot 1/4$ для пересечения. Получается $p=1/2$.
Что-то не так, но не пойму что.

Я бы понял если бы вы рассуждали для дуг на окружности. Но для дуг на сфере требуется больше строгости.

[atlakatl]

slavav в сообщении #1288381 писал(а):

больше строгости.

Развернём дуги до перпендикуляра: экватор Э и линия перемены дат ЛПД. Вероятность, что ЛПД пересечёт Э в нужном месте $1/2$. А вероятность нахождения дуги Э на пересечении тоже $1/2$. $p=1/2 \cdot 1/2=1/4$.
Уже легче.

[DeBill]

an2ancan в сообщении #1288364 писал(а):

получается следущее:

Ну, вообще то , я имел в виду, что обе точки пересечения выглядят совершенно симметрично по отношению ко всему.
Так что вероятность, что обе кратчайшие проходят через одну и ту же, равна половинке - и это относится к той единственно здесь интересной ситуации, когда обе пары - "в разных полусферах". Что и дает ответ Geen

[slavav]

atlakatl в сообщении #1288385 писал(а):

slavav в сообщении #1288381 писал(а):

больше строгости.

Развернём дуги до перпендикуляра: экватор Э и линия перемены дат ЛПД. Вероятность, что ЛПД пересечёт Э в нужном месте $1/2$. А вероятность нахождения дуги Э на пересечении тоже $1/2$. $p=1/2 \cdot 1/2=1/4$.
Уже легче.

Э и ЛПД пересекаются в двух точках. $1/2$ - это вероятность что дуга на Э покроет любую из этих точек. Тоже для дуги на ЛПД. Произведение, как вы и сказали $1/4$. Но в результате две дуги могут покрыть две разные точки.

И всё равно строгости мне не хватает. Я воспринимаю ваше решение как "убедительство" для получения верного ответа. Но сам ответ, когда он будет получен надо будет доказать уже строго.

[Geen]

an2ancan в сообщении #1288379 писал(а):

Вопрос в том, что не все пересекают границу поусфер в нужном месте....

Не все. Но почему половина? И зачем "нужное место" (и что это такое тоже было бы хорошо уточнить) учитывать именно сейчас? А если его уже "учли", зачем учитывать "второй раз"?