Подмножество целочисленной решётки

[arseniiv]

Назовём декартовым графом размерности $n\in\mathbb N$ подмножество произведения $n$ циклических групп с образующими $1_1,\ldots,1_n$. На таком множестве $L$ естественно действует свободный моноид направлений $D_n = \langle\uparrow_1,\downarrow_1,\ldots,\uparrow_n,\downarrow_n\rangle$: $\uparrow_i$ прибавляет $1_i$ к элементу $L$ до тех пор, пока не получится элемент $L$, а если никогда не получится, останемся где были; с $\downarrow_i$ аналогично, но $1_i$ отнимается.

Пусть у нас есть некоторое множество $L$, на котором действует $D_n$. Что надо потребовать от этого действия (кроме транзитивности и очевидной «почти обратности» $\uparrow_i$ и $\downarrow_i$: ${\uparrow_i} x\ne x\Rightarrow {\downarrow_i\uparrow_i} x = x$, ${\downarrow_i} x\ne x\Rightarrow {\uparrow_i\downarrow_i} x = x$), чтобы $L$ была изоморфна некоторому декартову графу?**

(Подсказка, если непонятно, что может пойти не так)

Например, если все элементы бесконечной «спирали» вида

$$a,\; {\uparrow}a,\; {\leftarrow\uparrow}a,\; {\downarrow\leftarrow\uparrow}a,\; {\rightarrow\downarrow\leftarrow\uparrow}a,\; {\uparrow\rightarrow\downarrow\leftarrow\uparrow}a,\; \ldots$$

различны, её нельзя вложить в целочисленную решётку.

UPD: напомнили, что можно. Да, если рассматривать её отдельно, но вот в более сложном случае — не уверен.

* В граф можно превратить, выпустив из каждой точки по ребру для каждого «направления» из $D_n$.

** На самом деле я ещё не решил эту задачу, но выглядит она просто.