2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подмножество целочисленной решётки
Сообщение27.01.2018, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
24309
Уфа
Назовём декартовым графом размерности $n\in\mathbb N$ подмножество произведения $n$ циклических групп с образующими $1_1,\ldots,1_n$. На таком множестве $L$ естественно действует свободный моноид направлений $D_n = \langle\uparrow_1,\downarrow_1,\ldots,\uparrow_n,\downarrow_n\rangle$: $\uparrow_i$ прибавляет $1_i$ к элементу $L$ до тех пор, пока не получится элемент $L$, а если никогда не получится, останемся где были; с $\downarrow_i$ аналогично, но $1_i$ отнимается.

Пусть у нас есть некоторое множество $L$, на котором действует $D_n$. Что надо потребовать от этого действия (кроме транзитивности и очевидной «почти обратности» $\uparrow_i$ и $\downarrow_i$: ${\uparrow_i} x\ne x\Rightarrow {\downarrow_i\uparrow_i} x = x$, ${\downarrow_i} x\ne x\Rightarrow {\uparrow_i\downarrow_i} x = x$), чтобы $L$ была изоморфна некоторому декартову графу?**

(Подсказка, если непонятно, что может пойти не так)

Например, если все элементы бесконечной «спирали» вида $$a,\; {\uparrow}a,\; {\leftarrow\uparrow}a,\; {\downarrow\leftarrow\uparrow}a,\; {\rightarrow\downarrow\leftarrow\uparrow}a,\; {\uparrow\rightarrow\downarrow\leftarrow\uparrow}a,\; \ldots$$различны, её нельзя вложить в целочисленную решётку.

UPD: напомнили, что можно. Да, если рассматривать её отдельно, но вот в более сложном случае — не уверен.


* В граф можно превратить, выпустив из каждой точки по ребру для каждого «направления» из $D_n$.

** На самом деле я ещё не решил эту задачу, но выглядит она просто.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group