2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Подмножество целочисленной решётки
Сообщение27.01.2018, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
24650
Уфа
Назовём декартовым графом размерности $n\in\mathbb N$ подмножество произведения $n$ циклических групп с образующими $1_1,\ldots,1_n$. На таком множестве $L$ естественно действует свободный моноид направлений $D_n = \langle\uparrow_1,\downarrow_1,\ldots,\uparrow_n,\downarrow_n\rangle$: $\uparrow_i$ прибавляет $1_i$ к элементу $L$ до тех пор, пока не получится элемент $L$, а если никогда не получится, останемся где были; с $\downarrow_i$ аналогично, но $1_i$ отнимается.

Пусть у нас есть некоторое множество $L$, на котором действует $D_n$. Что надо потребовать от этого действия (кроме транзитивности и очевидной «почти обратности» $\uparrow_i$ и $\downarrow_i$: ${\uparrow_i} x\ne x\Rightarrow {\downarrow_i\uparrow_i} x = x$, ${\downarrow_i} x\ne x\Rightarrow {\uparrow_i\downarrow_i} x = x$), чтобы $L$ была изоморфна некоторому декартову графу?**

(Подсказка, если непонятно, что может пойти не так)

Например, если все элементы бесконечной «спирали» вида $$a,\; {\uparrow}a,\; {\leftarrow\uparrow}a,\; {\downarrow\leftarrow\uparrow}a,\; {\rightarrow\downarrow\leftarrow\uparrow}a,\; {\uparrow\rightarrow\downarrow\leftarrow\uparrow}a,\; \ldots$$различны, её нельзя вложить в целочисленную решётку.

UPD: напомнили, что можно. Да, если рассматривать её отдельно, но вот в более сложном случае — не уверен.


* В граф можно превратить, выпустив из каждой точки по ребру для каждого «направления» из $D_n$.

** На самом деле я ещё не решил эту задачу, но выглядит она просто.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: gris


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group