Измеримые функции - че-то с ходу не соображу.

[AD]

Вопрос вроде бы простой, но чего-то с ходу не соображу.

Верно ли, что для всякой измеримой (скажем, на отрезке) неотрицательной функции существует последовательность непрерывных почти всюду функций, монотонно сходящихся к ней по мере?

Добавлено спустя 53 секунды:

Если слишком просто - так и скажите, я еще подумаю.

[Alexiii]

Да,верно!
Подумайте)

[AD]

Придумал контрпример. Сейчас не успею, во второй половине дня напишу.
(да не станет это теоремой Ферма ...)

[AD]

Ну очень просто. Берем характеристическую функцию $f(x)=\chi_E(x)$ множества $E=[0,1]\setminus\mathbb{Q}$. Покажем, что не существует неубывающей* почти всюду последовательности непрерывных почти всюду на $[0,1]$ функций, сходящейся к ней по мере. Действительно, пусть $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ --- такая последовательность. Тогда $f_k(x)\le0$ при $x\in\mathbb{Q}$. А поскольку $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $[0,1]$, то $f_k(x)\le0$ также во всех точках непрерывности, то есть почти всюду на $[0,1]$. Но стремиться к единице, оставаясь почти всюду не больше нуля, не модно, что и требовалось.
_________________
* если кто-нибудь скажет, что зато существует невозрастающая - перейду к функции $\scriptstyle{g(x)=f(x)-f(x-1)}$

[PAV]

А какова мера множества, на котором значение Вашей функции отличается от значения функции, равной тождественно единице?

[AD]

Так. Мда. Глупость какая.

Ну хорошо, ну тогда возьмем в качестве $E$ канторово множество положительной меры на $[0,1]$. Ну и вместо "при $x\in\mathbb{Q}$" далее по тексту надо читать "при почти всех $x\in[0,1]\setminus E$".

То есть откорректированный пример так выглядит:

Берем характеристическую функцию $f(x)=\chi_E(x)$ канторова-множества-положительной-меры $E$. Покажем, что не существует неубывающей почти всюду последовательности непрерывных почти всюду на $[0,1]$ функций, сходящейся к ней по мере. Действительно, пусть $\{f_k\}_{k=1}^\infty$ --- такая последовательность. Тогда $f_k(x)\le0$ при почти всех $x\in[0,1]\setminus E$, то есть, в частности, на всюду плотном в $[0,1]$ множестве. Следовательно, $f_k(x)\le0$ также во всех точках непрерывности, то есть почти всюду на $[0,1]$. Но стремиться, пусть даже и по мере, к единице на множестве положительной меры, оставаясь почти всюду не больше нуля --- это не айс, что и требовалось.

[Narn]

Пусть $A$ - измеримое подмножество $[0,1]$. Тогда существует последовательность открытых множеств $A_n$, монотонно убывая сходящаяся к $A$. Берем их хар. функции и получаем, что хар. функция любого измеримого множества может быть представлена как предел монотонной последовательности п. в. непрерывных функций.

Или я где-то неправ? Пишу наспех, но вроде все верно.

[Brukvalub]

Narn писал(а):

Пусть $A$ - измеримое подмножество $[0,1]$. Тогда существует последовательность открытых множеств $A_n$, монотонно убывая сходящаяся к $A$.

Сходящаяся по мере? Почему?

[ewert]

Brukvalub писал(а):

Narn писал(а):

Пусть $A$ - измеримое подмножество $[0,1]$. Тогда существует последовательность открытых множеств $A_n$, монотонно убывая сходящаяся к $A$.

Сходящаяся по мере? Почему?

по одному из определений внешней меры.

Другое дело, что эта последовательность не в ту сторону монотонна.

[AD]

Не в ту сторону - не так важно. Но, вы думаете, характеристические функции открытых множеств будут непрерывны почти всюду? Для дополнения к канторовому множеству положительной меры это как раз и неверно.

[Brukvalub]

AD писал(а):

Не в ту сторону - не так важно. Вы мне объясните лучше, почему характеристические функции открытых множеств будут непрерывны почти всюду. Для дополнения к канторовому множеству положительной меры это как раз и неверно.

Вот я и просил уточнить предложенную конструкцию открытых множеств. Если брать их в виде объединения не более чем счетного числа интервалов о чем, по-видимому писал, отвечая мне ewert ) , то непонятно, как обеспечить монотонность, а как иначе - Narn не разъяснил.

[ewert]

Вообще-то я смотрю параллельно футбол, не отходя от кассы, поэтому с ходу мне трудно сообразить, что я, по-видимому, имел в виду. А фактически я имел в виду следующее: если открытые множества убывают, то и их характеристические функции тоже убывают. А изнутри приблизить измеримое множество возрастающими открытыми, вообще говоря, невозможно.

[Narn]

Конечно, х. ф. любого открытого множества не должна быть п. в. непрерывной, AD, ewert и Brukvalub прав, а я поторопился .

Но для замкнутых множеств (в том числе и канторовых) мое утверждение, кажется, все-таки верно.

Берем дополнение - оно не более чем счетное объединение интервалов $(a_k, b_k)$. Конечный случай нам не интересен, то есть $k$ пробегает $\mathbb{N}$. Пусть $A_k=\bigcup_{i=1}^{i=k}{(a_i, b_i)}$. Тогда х. ф. $A_k$ (и дополнений) п. в. непрерывны и монотонно сходятся к соотв. х. функциям.

[ewert]

Narn писал(а):

Конечно, х. ф. любого открытого множества не должна быть п. в. непрерывной,

вообще-то для сходимости по мере ей и не обязательно быть почти всюду непрерывной -- достаточно того, что её саму можно приблизить по мере непрерывными

[Narn]

ewert писал(а):

Narn писал(а):

Конечно, х. ф. любого открытого множества не должна быть п. в. непрерывной,

вообще-то для сходимости по мере ей и не обязательно быть почти всюду непрерывной -- достаточно того, что её саму можно приблизить по мере непрерывными

Я просто объяснял, в каком месте я сделал глупость. А Вы о чем? Если я ее приближу, то приближать х. ф. следующего открытого множества мне придется так, чтобы не нарушилась монотонность. А сейчас я не понимаю, как это можно сделать, и можно ли вообще.

Кстати, возвращаясь к самой задаче. Она есть у Кириллова-Гвишиани, номер 152. Там речь о сходимости почти всюду, но ясно, что в данном случае это одно и то же.