2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Четырехмерная алгебра Ли
Сообщение31.12.2017, 20:59 
Заслуженный участник


17/09/10
1799
Пусть $g^4$ - вещественная алгебра Ли и $g^3\subset{g^4}$, $g^3$ изоморфна $so(3)$.
Докажите, что существует элемент $a\in{g^4}$ такой, что $[a,b]=0$ для любого $b\in{g^4}$.
Т.е. Найдется элемент алгебры Ли $g^4$ коммутирующий со всеми элементами $g^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четырехмерная алгебра Ли
Сообщение17.01.2018, 20:56 
Заслуженный участник


17/09/10
1799
Упростим задачу. Добавим в условие $g^3$ - идеал в $g^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четырехмерная алгебра Ли
Сообщение18.01.2018, 20:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
830
ЦФО, Россия
Из теоремы Леви-Мальцева следует, что исходная алгебра раскладывается в полупрямую сумму простой подалгебры, изоморфной $so(3)$, и одномерного радикала. А поскольку простая алгебра Ли имеет только тривиальное одномерное представление эта сумма является прямой. Выбирая элемент $a$ из радикала, доказываем утверждение.

Эту задачу можно чуть усложнить. Пусть $g_5$ - пятимерная вещественная алгебра Ли и $g_3$ - ее полупростая подалгебра. Доказать, что центр алгебры $g_5$ тривиален.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четырехмерная алгебра Ли
Сообщение18.01.2018, 22:30 
Заслуженный участник


17/09/10
1799
lek, Ваши рассуждения верны, но недоказанным осталось, что $g^4$ сама не является полупростой и обладает радикалом.
Для упрощения доказательства этого введено условие $g^3$ - идеал в $g^4$.

По поводу $g_5$. Утверждение Ваше справедливо только для неразложимых алгебр Ли т. е. таких алгебр Ли, которые не распадаются в прямую сумму алгебр Ли меньшей размерности.
Действительно, для $g_5=g_3\oplus{g_2}$, где $g_3$ полупростая, а $g_2$ абелева, ненулевым центром является $g_2$.
Вообще, среди 40 типов неразложимых $g_5$ имеется только одна, содержащая полупростую трехмерную подалгебру, а именно алгебру Ли группы $SU(2)$. И у этой $g_5$ действительно тривиальный центр.
Все остальные 39 типов - это разрешимые алгебры Ли, которые содержать полупростые подалгебры не могут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четырехмерная алгебра Ли
Сообщение18.01.2018, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
830
ЦФО, Россия
scwec в сообщении #1285515 писал(а):
недоказанным осталось, что $g^4$ сама не является полупростой...

Это очевидное следствие структурной теоремы Картана о полупростых алгебрах Ли.

scwec в сообщении #1285515 писал(а):
...и обладает радикалом.

А это следует из неполупростоты алгебры Ли $g^4$ и теоремы Леви-Мальцева.

scwec в сообщении #1285515 писал(а):
Утверждение Ваше справедливо только для неразложимых алгебр Ли

Конечно.

scwec в сообщении #1285515 писал(а):
Вообще, среди 40 типов неразложимых $g_5$ имеется только одна, содержащая полупростую трехмерную подалгебру, а именно алгебру Ли группы $SU(2)$.

Это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четырехмерная алгебра Ли
Сообщение19.01.2018, 12:37 
Заслуженный участник


17/09/10
1799
Приведу доказательство того, что $g^4$ не полупроста.
Предположим обратное. Тогда форма Киллинга на $g^4\times{g^4}$ невырождена и
множество элементов из $g^4$ ортогональных $g^3$ образуют абелев одномерный идеал в $g^4$.
Поскольку полупростая алгебра не содержит абелевых идеалов, то получено противоречие с полупростотой $g^4$.
В принципе, вполне тянет на очевидность.
По поводу классификации 5-мерных алгебр Ли с описанием всех 40 типов, то вот ссылка:
В. В. ТРОФИМОВ, М. В. ШАМОЛИН "Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипативных систем" раздел 3.4. Плоские симплектические связности на орбитах коприсоединённого представления пятимерных групп Ли стр.122 - 141,
в сборнике "Фундаментальная и Прикладная Математика Том 16 Выпуск 4 Динамические системы 2010год.
Кстати, упомянутая выше единственная пятимерная алгебра Ли, содержащая полупростую подалгебру Ли, (изоморфную $sl_2{(R)}$), играет важную роль при нахождении первых интегралов гамильтоновой системы, описывающей движение точек по неподвижной прямой с потенциалом однородным степени $-2$ по разности координат.
Но это уже другая история.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четырехмерная алгебра Ли
Сообщение19.01.2018, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
830
ЦФО, Россия
scwec в сообщении #1285654 писал(а):
В принципе, вполне тянет на очевидность.

Безусловно.

scwec в сообщении #1285654 писал(а):
изоморфную $sl_2{(R)}$

Теперь верно. Эта алгебра, в отличие от $su(2)$, имеет вещественное двумерное представление. Кстати именно это наблюдение можно положить в основу доказательства сформулированной выше задачи о тривиальности центра пятимерной неразложимой неразрешимой алгебры Ли. И оно также тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четырехмерная алгебра Ли
Сообщение19.01.2018, 15:45 
Заслуженный участник


17/09/10
1799
Замечание по поводу исходной задачи.
Зная, что неразложимых четырехмерных алгебр Ли существует 12 типов и все они разрешимые (а разрешимые алгебры не содержат полупростых), делается вывод, что наша алгебра Ли является прямой суммой $g^4=so(3)\oplus{g^1}$, где оба слагаемые идеалы в $g^4$.
Любой элемент из $g^1$ является искомым.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group