Четырехмерная алгебра Ли

[scwec]

Пусть $g^4$ - вещественная алгебра Ли и $g^3\subset{g^4}$, $g^3$ изоморфна $so(3)$.
Докажите, что существует элемент $a\in{g^4}$ такой, что $[a,b]=0$ для любого $b\in{g^4}$.
Т.е. Найдется элемент алгебры Ли $g^4$ коммутирующий со всеми элементами $g^4$.

[scwec]

Упростим задачу. Добавим в условие $g^3$ - идеал в $g^4$.

[lek]

Из теоремы Леви-Мальцева следует, что исходная алгебра раскладывается в полупрямую сумму простой подалгебры, изоморфной $so(3)$, и одномерного радикала. А поскольку простая алгебра Ли имеет только тривиальное одномерное представление эта сумма является прямой. Выбирая элемент $a$ из радикала, доказываем утверждение.

Эту задачу можно чуть усложнить. Пусть $g_5$ - пятимерная вещественная алгебра Ли и $g_3$ - ее полупростая подалгебра. Доказать, что центр алгебры $g_5$ тривиален.

[scwec]

lek, Ваши рассуждения верны, но недоказанным осталось, что $g^4$ сама не является полупростой и обладает радикалом.
Для упрощения доказательства этого введено условие $g^3$ - идеал в $g^4$.

По поводу $g_5$. Утверждение Ваше справедливо только для неразложимых алгебр Ли т. е. таких алгебр Ли, которые не распадаются в прямую сумму алгебр Ли меньшей размерности.
Действительно, для $g_5=g_3\oplus{g_2}$, где $g_3$ полупростая, а $g_2$ абелева, ненулевым центром является $g_2$.
Вообще, среди 40 типов неразложимых $g_5$ имеется только одна, содержащая полупростую трехмерную подалгебру, а именно алгебру Ли группы $SU(2)$. И у этой $g_5$ действительно тривиальный центр.
Все остальные 39 типов - это разрешимые алгебры Ли, которые содержать полупростые подалгебры не могут.

[lek]

scwec в сообщении #1285515 писал(а):

недоказанным осталось, что $g^4$ сама не является полупростой...

Это очевидное следствие структурной теоремы Картана о полупростых алгебрах Ли.

scwec в сообщении #1285515 писал(а):

...и обладает радикалом.

А это следует из неполупростоты алгебры Ли $g^4$ и теоремы Леви-Мальцева.

scwec в сообщении #1285515 писал(а):

Утверждение Ваше справедливо только для неразложимых алгебр Ли

Конечно.

scwec в сообщении #1285515 писал(а):

Вообще, среди 40 типов неразложимых $g_5$ имеется только одна, содержащая полупростую трехмерную подалгебру, а именно алгебру Ли группы $SU(2)$.

Это не так.

[scwec]

Приведу доказательство того, что $g^4$ не полупроста.
Предположим обратное. Тогда форма Киллинга на $g^4\times{g^4}$ невырождена и
множество элементов из $g^4$ ортогональных $g^3$ образуют абелев одномерный идеал в $g^4$.
Поскольку полупростая алгебра не содержит абелевых идеалов, то получено противоречие с полупростотой $g^4$.
В принципе, вполне тянет на очевидность.
По поводу классификации 5-мерных алгебр Ли с описанием всех 40 типов, то вот ссылка:
В. В. ТРОФИМОВ, М. В. ШАМОЛИН "Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипативных систем" раздел 3.4. Плоские симплектические связности на орбитах коприсоединённого представления пятимерных групп Ли стр.122 - 141,
в сборнике "Фундаментальная и Прикладная Математика Том 16 Выпуск 4 Динамические системы 2010год.
Кстати, упомянутая выше единственная пятимерная алгебра Ли, содержащая полупростую подалгебру Ли, (изоморфную $sl_2{(R)}$), играет важную роль при нахождении первых интегралов гамильтоновой системы, описывающей движение точек по неподвижной прямой с потенциалом однородным степени $-2$ по разности координат.
Но это уже другая история.

[lek]

scwec в сообщении #1285654 писал(а):

В принципе, вполне тянет на очевидность.

Безусловно.

scwec в сообщении #1285654 писал(а):

изоморфную $sl_2{(R)}$

Теперь верно. Эта алгебра, в отличие от $su(2)$, имеет вещественное двумерное представление. Кстати именно это наблюдение можно положить в основу доказательства сформулированной выше задачи о тривиальности центра пятимерной неразложимой неразрешимой алгебры Ли. И оно также тривиально.

[scwec]

Замечание по поводу исходной задачи.
Зная, что неразложимых четырехмерных алгебр Ли существует 12 типов и все они разрешимые (а разрешимые алгебры не содержат полупростых), делается вывод, что наша алгебра Ли является прямой суммой $g^4=so(3)\oplus{g^1}$, где оба слагаемые идеалы в $g^4$.
Любой элемент из $g^1$ является искомым.