Сколько корней?

[DeBill]

(Оффтоп)

Известная шЮтка

По мотивам топика из ПРР:
Сколько решений у уравнения $(\frac{1}{16})^x = \log_{\frac{1}{16}}x$ ?
Решить а) по графикам б) методом угадывания корней...

[amon]

(Оно?)

$x=\frac{1}{2}$

[Dmitriy40]

(Корни, не подглядывать!)

Да три там корня, хотя на первый взгляд их фиг различишь:

Второй очевиден, а третий $x\approx0{,}36425$ (вольфрам).

[atlakatl]

Dmitriy40 в сообщении #1285569 писал(а):

Второй очевиден

Чем?
Ну и если "очевидный" второй существует, то должен быть и третий.

[kotenok gav]

atlakatl в сообщении #1285573 писал(а):

Чем?

Пока подставляешь первый корень в уравнение, понимаешь чем он особенен, и легко находишь второй корень.

[atlakatl]

kotenok gav в сообщении #1285577 писал(а):

понимаешь чем он особенен, и легко находишь второй корень.

Перейдём к нормальной форме: $(\frac{1}{16})^x = \log_{\frac{1}{16}}x$ $\Rightarrow$$1+{16}^x \ctod \log_{16}x=0$. Подставляем в неё $x=1/2$. Что за "понимаешь, чем он особенен" приходит на ум?

[wrest]

DeBill в сообщении #1285543 писал(а):

Сколько решений у уравнения $(\frac{1}{16})^x = \log_{\frac{1}{16}}x$ ?
Решить а) по графикам б) методом угадывания корней...

Перед решением определяем где вообще могут быть корни. Методом графиков определяем, что все корни какие есть лежат между нулем и единицей, т.к. в нуле график логарифма выше единицы (стремится к бесконечности при стремлении аргумента к нулю справа) а график показательной функции в нуле через единицу проходит, ну а после единицы логарифм становится отрицательным, а показательная функция остается положительной. Слева от нуля не определен логарифм (комплексный), так что промежуток для поиска корней становится такой: $x \in (0;1)$
Из этого же рассуждения получаем что корни таки есть.

Ну, попробуем сперва по б).

Преобразуем уравнение следующим образом:
$(\frac{1}{16})^x -\log_{\frac{1}{16}}x=0$ к виду
$2^{-2^{2-4x}}=x$
Здесь можно угадать два корня $x_1=2^{-1}$ и $x_2=2^{-2}$
Как их угадывать? Ну понятно как: значение показательной функции легко определяется при показателях равных нулю и единице. Так что $2-4x=1$ дает $x_1=2^{-2}$, а $2-4x=0$ дает $x_2=2^{-1}$ которые чудесным образом подходят.
Остается вопрос есть ли ещё корни и сколько.

Для этого используем a) метод графиков. Дифференцируем функцию
$y=2^{-2^{2-4x}}-x$, получаем $y'=2^{4-4x-2^{2-4x}} \ln^2(2)-1$
Подставляем в производную наши корни и видим, что
$y'(2^{-1})=y'(2^{-2})=2\ln^2(2)-1$ так что между уже найденными корнями есть еще по крайней мере один (функция то ли растет то ли уменьшается но в обоих нулях, значит между ними есть еще по крайней мере один ноль).

Осталось показать что больше (кроме одного между уже найденными) корней нет. Поскольку оба метода (угадывания и графиков) похоже себя исчерпали, нужен какой-то третий.

[kotenok gav]

atlakatl в сообщении #1285720 писал(а):

Перейдём к нормальной форме:

Зачем?
Подставляя 1/2 в уравнение, понимаешь, что этот корень основан на равенствах $\frac1{16}^{\frac{1}{2}}=\frac14$ и $\frac1{16}^{\frac{1}{4}}=\frac12$.
Дальше подсказывать?

[atlakatl]

kotenok gav
Не плачь, я всё понял.
Спасибо.
В моей форме уравнения тоже, кстати, получается: $4 \cdot (-1/4)$ и $2 \cdot (-1/2)$ при подстановке $1/2$ и $1/4$ вместо $x$.

[DeBill]

Задача забавна тем, что, когда ее решает студент, поднаторевший в построении графиков (он рисует графики левой-правой части, замечает их симметричность - функции взаимно обратны, и находит корень - один - на биссектрисе). А когда решает школьник, он просто угадывает пару корней - симметрично, и не на биссектрисе. И когда они обмениваются решениями - оба впадают в просрацию

[atlakatl]

DeBill в сообщении #1285737 писал(а):

оба впадают в просрацию

в просТрацию. Просрация это маленько другое.