2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 00:51 
Заслуженный участник


10/01/16
1892

(Оффтоп)

Известная шЮтка

По мотивам топика из ПРР:
Сколько решений у уравнения $(\frac{1}{16})^x = \log_{\frac{1}{16}}x$ ?
Решить а) по графикам б) методом угадывания корней...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 03:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3643
ФТИ им. Иоффе СПб

(Оно?)

$x=\frac{1}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 03:40 
Заслуженный участник


20/08/14
5567
Россия, Москва

(Корни, не подглядывать!)

Да три там корня, хотя на первый взгляд их фиг различишь:
Изображение
Второй очевиден, а третий $x\approx0{,}36425$ (вольфрам).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 05:51 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Dmitriy40 в сообщении #1285569 писал(а):
Второй очевиден

Чем?
Ну и если "очевидный" второй существует, то должен быть и третий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 07:41 


21/05/16
2427
Аделаида
atlakatl в сообщении #1285573 писал(а):
Чем?

Пока подставляешь первый корень в уравнение, понимаешь чем он особенен, и легко находишь второй корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 16:16 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
kotenok gav в сообщении #1285577 писал(а):
понимаешь чем он особенен, и легко находишь второй корень.
Перейдём к нормальной форме: $(\frac{1}{16})^x = \log_{\frac{1}{16}}x$ $\Rightarrow$$1+{16}^x \ctod \log_{16}x=0$. Подставляем в неё $x=1/2$. Что за "понимаешь, чем он особенен" приходит на ум?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 16:33 


05/09/16
5599
DeBill в сообщении #1285543 писал(а):
Сколько решений у уравнения $(\frac{1}{16})^x = \log_{\frac{1}{16}}x$ ?
Решить а) по графикам б) методом угадывания корней...

Перед решением определяем где вообще могут быть корни. Методом графиков определяем, что все корни какие есть лежат между нулем и единицей, т.к. в нуле график логарифма выше единицы (стремится к бесконечности при стремлении аргумента к нулю справа) а график показательной функции в нуле через единицу проходит, ну а после единицы логарифм становится отрицательным, а показательная функция остается положительной. Слева от нуля не определен логарифм (комплексный), так что промежуток для поиска корней становится такой: $x \in (0;1)$
Из этого же рассуждения получаем что корни таки есть.

Ну, попробуем сперва по б).

Преобразуем уравнение следующим образом:
$(\frac{1}{16})^x -\log_{\frac{1}{16}}x=0$ к виду
$2^{-2^{2-4x}}=x$
Здесь можно угадать два корня $x_1=2^{-1}$ и $x_2=2^{-2}$
Как их угадывать? Ну понятно как: значение показательной функции легко определяется при показателях равных нулю и единице. Так что $2-4x=1$ дает $x_1=2^{-2}$, а $2-4x=0$ дает $x_2=2^{-1}$ которые чудесным образом подходят.
Остается вопрос есть ли ещё корни и сколько.

Для этого используем a) метод графиков. Дифференцируем функцию
$y=2^{-2^{2-4x}}-x$, получаем $y'=2^{4-4x-2^{2-4x}} \ln^2(2)-1$
Подставляем в производную наши корни и видим, что
$y'(2^{-1})=y'(2^{-2})=2\ln^2(2)-1$ так что между уже найденными корнями есть еще по крайней мере один (функция то ли растет то ли уменьшается но в обоих нулях, значит между ними есть еще по крайней мере один ноль).

Осталось показать что больше (кроме одного между уже найденными) корней нет. Поскольку оба метода (угадывания и графиков) похоже себя исчерпали, нужен какой-то третий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 17:00 


21/05/16
2427
Аделаида
atlakatl в сообщении #1285720 писал(а):
Перейдём к нормальной форме:

Зачем?
Подставляя 1/2 в уравнение, понимаешь, что этот корень основан на равенствах $\frac1{16}^{\frac{1}{2}}=\frac14$ и $\frac1{16}^{\frac{1}{4}}=\frac12$.
Дальше подсказывать? :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 18:09 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
kotenok gav
Не плачь, я всё понял.
Спасибо.
В моей форме уравнения тоже, кстати, получается: $4 \cdot (-1/4)$ и $2 \cdot (-1/2)$ при подстановке $1/2$ и $1/4$ вместо $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 18:17 
Заслуженный участник


10/01/16
1892
Задача забавна тем, что, когда ее решает студент, поднаторевший в построении графиков (он рисует графики левой-правой части, замечает их симметричность - функции взаимно обратны, и находит корень - один - на биссектрисе). А когда решает школьник, он просто угадывает пару корней - симметрично, и не на биссектрисе. И когда они обмениваются решениями - оба впадают в просрацию :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сколько корней?
Сообщение19.01.2018, 18:34 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
DeBill в сообщении #1285737 писал(а):
оба впадают в просрацию :D

в просТрацию. Просрация это маленько другое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group