2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Работа при адиабатном расширении
Сообщение17.01.2018, 19:06 
Аватара пользователя


08/01/18
104
Москва
Решая задачи об адиабатном сжатии и расширении столкнулся с парадоксом. Суть вот в чем. Для определения работы компрессора для сжатия воздуха используем формулу $ A = \frac{RT_1}{\gamma - 1}(1 - (\frac{P_2}{P_1})^\frac{\gamma - 1}{\gamma})$. Решаем одну и ту же задачу, но с различными $P_2$, например 1) $ P_1 = 1, P_2 = 4$; 2) $P_1 = 1, P_2 = 8$. Уже из формулы видно, что для получения увеличенного в два раза давления $P_2$, работа будет затрачена не в два раза большая, хотя очевидно и другое: работа в первом случае будет равна работе сжатия для $P_1 = 4, P_2 = 8$. Вообще из формулы работы видно, что и на изменение давления в два раза, независимо от диапазона, т.е. и для $P_1 = 40, P_2 = 80$ будет затрачена одинаковая работа.
Может, это только мне это кажется невероятным или я что-то не понимаю? Прошу разъяснить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа при адиабатном расширении
Сообщение17.01.2018, 19:35 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
siago в сообщении #1285153 писал(а):
Вообще из формулы работы видно, что и на изменение давления в два раза, независимо от диапазона, т.е. и для $P_1 = 40, P_2 = 80$ будет затрачена одинаковая работа.

Так формула для одного моля, при разном начальном давлении изменение объема будет разное. Формулу для работы по сжатию на малое $dV$ ведь помните?

-- 17.01.2018, 23:36 --

siago в сообщении #1285153 писал(а):
хотя очевидно и другое: работа в первом случае будет равна работе сжатия для $P_1 = 4, P_2 = 8$

Нет, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа при адиабатном расширении
Сообщение17.01.2018, 20:14 
Аватара пользователя


08/01/18
104
Москва
Извините, но я даже не понял, что вы хотели сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа при адиабатном расширении
Сообщение17.01.2018, 22:43 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
siago в сообщении #1285153 писал(а):
Вообще из формулы работы видно, что и на изменение давления в два раза, независимо от диапазона, т.е. и для $P_1 = 40, P_2 = 80$ будет затрачена одинаковая работа.
Может, это только мне это кажется невероятным или я что-то не понимаю? Прошу разъяснить.
Вы, кажется, интуитивно представляете себе два одинаковых объема с одной стартовой температурой, в которых есть газ при разных давлениях; тогда одинаковая работа по подъему давления в два раза действительно выглядит нелепо. Но по Вашей формуле вычисляется работа по сжатию одного моля газа, стартовые объемы будут отличаться в то же число раз, что и стартовые давления. Соответственно, при сжатии маленького объемчика с высоким стартовым давлением изменение объема тоже будет маленьким (что и компенсирует возросшее давление).

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа при адиабатном расширении
Сообщение18.01.2018, 16:08 
Аватара пользователя


08/01/18
104
Москва
Pphantom в сообщении #1285237 писал(а):
Вы, кажется, интуитивно представляете себе ...
Я, скорее всего, недостаточно ясно выразил свою мысль. Вот и DimaM похоже меня не понял. Попробую пояснить. Я достаточно ясно понимаю, что работа рассчитывается удельная. Также понимаю, что происходит изменение всех трех основных параметров P, V и Т. Известны начальные параметры Р и Т и задается конечный параметр Р. Из формулы работы видно, что при параметрах 1) $T_1 = 300K, P_1 = 1, P_2 = 2$; и 2) $T_1 = 300K, P_1 = 2, P_2 = 4$ работа и в первом и во втором случае будет одинакова.
А теперь посчитаем работу при условиях $T_1 = 300K, P_1 = 1, P_2 = 4$. Прежде, чем решать, мы уже можем сделать предварительные выводы. Например, мы видим, что к моменту достижения давления $P_2 = 2$, которое являлось начальным для второй задачи, температура будет выше, чем в этой задаче, и согласно формуле работы работа дальнейшего повышения давления еще в два раза до $P_2 = 4$ уже на одном только этом основании должна быть больше, чем совершенная к этому моменту. Однако расчет показывает, что эта работа не только не больше, но и не равна совершенной к моменту $P_2 = 2$, а получается меньшей. Вот в чем парадокс! И физическая сущность этого результата мне непонятна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа при адиабатном расширении
Сообщение18.01.2018, 16:25 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
А можно увидеть реализацию расчета в деталях? Ну и на всякий случай... Вы не забыли учесть, что формула, строго говоря, позволяет сосчитать работу газа, при сжатии она будет отрицательной? Просто, кажется, это единственное место, где можно перепутать "больше" и "меньше". :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа при адиабатном расширении
Сообщение18.01.2018, 16:27 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
siago в сообщении #1285408 писал(а):
Однако расчет показывает, что эта работа не только не больше, но и не равна совершенной к моменту $P_2 = 2$, а получается меньшей. Вот в чем парадокс!

Это у вас расчет неправильный. Возможно, потому, что знак в формуле из первого сообщения неверный, возможно, по другой причине.
Правильный расчет показывает, что работа на адиабатическое дожатие от $2P_0$ до $4P_0$ будет больше, чем работа на сжатие от $P_0$ до $2P_0$ в $2^{(\gamma-1)/\gamma}$ раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа при адиабатном расширении
Сообщение18.01.2018, 18:27 
Аватара пользователя


08/01/18
104
Москва
Pphantom в сообщении #1285412 писал(а):
А можно увидеть реализацию расчета в деталях?
Всё, товарищи! Разобрался, когда свел все в одну строку. Работа в третьем случае больше, чем сумма первых двух. А когда все было на разных листках, запутался. Вот в деталях три варианта одной задачи. Рассчитать работу компрессора по сжатию воздуха для 1) $T_1 = 300K, P_1 = 1, P_2 = 2$; 2) $T_1 = 300K, P_1 = 2, P_2 = 4$; и 3) $T_1 = 300K, P_1 = 1, P_2 = 4$. Процесс считать адиабатным. Решение: используем формулу для работы $ A = \frac{RT_1}{\gamma - 1}(1 - (\frac{P_2}{P_1})^\frac{\gamma - 1}{\gamma})$. Для ад.процесса считаем $ \gamma = k = 1,4$. Подставляем значения в формулу и получаем следующие результаты:
1) А= -47,16 кДж/кг; 2) А= -47,16 кДж/кг; 3) А= -104,64 кДж/кг.
Извините за беспокойство и огромное спасибо, что не бросили в беде! (Может, все это удалить, раз уж выяснилось, что вопрос был неверно поставлен?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Работа при адиабатном расширении
Сообщение19.01.2018, 02:03 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
siago в сообщении #1285450 писал(а):
(Может, все это удалить, раз уж выяснилось, что вопрос был неверно поставлен?)
Зачем? Всякое бывает, на форуме подобных случаев довольно много.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group