Работа при адиабатном расширении

[siago]

Решая задачи об адиабатном сжатии и расширении столкнулся с парадоксом. Суть вот в чем. Для определения работы компрессора для сжатия воздуха используем формулу $ A = \frac{RT_1}{\gamma - 1}(1 - (\frac{P_2}{P_1})^\frac{\gamma - 1}{\gamma})$. Решаем одну и ту же задачу, но с различными $P_2$, например 1) $ P_1 = 1, P_2 = 4$; 2) $P_1 = 1, P_2 = 8$. Уже из формулы видно, что для получения увеличенного в два раза давления $P_2$, работа будет затрачена не в два раза большая, хотя очевидно и другое: работа в первом случае будет равна работе сжатия для $P_1 = 4, P_2 = 8$. Вообще из формулы работы видно, что и на изменение давления в два раза, независимо от диапазона, т.е. и для $P_1 = 40, P_2 = 80$ будет затрачена одинаковая работа.
Может, это только мне это кажется невероятным или я что-то не понимаю? Прошу разъяснить.

[DimaM]

siago в сообщении #1285153 писал(а):

Вообще из формулы работы видно, что и на изменение давления в два раза, независимо от диапазона, т.е. и для $P_1 = 40, P_2 = 80$ будет затрачена одинаковая работа.

Так формула для одного моля, при разном начальном давлении изменение объема будет разное. Формулу для работы по сжатию на малое $dV$ ведь помните?

-- 17.01.2018, 23:36 --

siago в сообщении #1285153 писал(а):

хотя очевидно и другое: работа в первом случае будет равна работе сжатия для $P_1 = 4, P_2 = 8$

Нет, конечно.

[siago]

Извините, но я даже не понял, что вы хотели сказать.

[Pphantom]

siago в сообщении #1285153 писал(а):

Вообще из формулы работы видно, что и на изменение давления в два раза, независимо от диапазона, т.е. и для $P_1 = 40, P_2 = 80$ будет затрачена одинаковая работа.
Может, это только мне это кажется невероятным или я что-то не понимаю? Прошу разъяснить.

Вы, кажется, интуитивно представляете себе два одинаковых объема с одной стартовой температурой, в которых есть газ при разных давлениях; тогда одинаковая работа по подъему давления в два раза действительно выглядит нелепо. Но по Вашей формуле вычисляется работа по сжатию одного моля газа, стартовые объемы будут отличаться в то же число раз, что и стартовые давления. Соответственно, при сжатии маленького объемчика с высоким стартовым давлением изменение объема тоже будет маленьким (что и компенсирует возросшее давление).

[siago]

Pphantom в сообщении #1285237 писал(а):

Вы, кажется, интуитивно представляете себе ...

Я, скорее всего, недостаточно ясно выразил свою мысль. Вот и DimaM похоже меня не понял. Попробую пояснить. Я достаточно ясно понимаю, что работа рассчитывается удельная. Также понимаю, что происходит изменение всех трех основных параметров P, V и Т. Известны начальные параметры Р и Т и задается конечный параметр Р. Из формулы работы видно, что при параметрах 1) $T_1 = 300K, P_1 = 1, P_2 = 2$; и 2) $T_1 = 300K, P_1 = 2, P_2 = 4$ работа и в первом и во втором случае будет одинакова.
А теперь посчитаем работу при условиях $T_1 = 300K, P_1 = 1, P_2 = 4$. Прежде, чем решать, мы уже можем сделать предварительные выводы. Например, мы видим, что к моменту достижения давления $P_2 = 2$, которое являлось начальным для второй задачи, температура будет выше, чем в этой задаче, и согласно формуле работы работа дальнейшего повышения давления еще в два раза до $P_2 = 4$ уже на одном только этом основании должна быть больше, чем совершенная к этому моменту. Однако расчет показывает, что эта работа не только не больше, но и не равна совершенной к моменту $P_2 = 2$, а получается меньшей. Вот в чем парадокс! И физическая сущность этого результата мне непонятна.

[Pphantom]

А можно увидеть реализацию расчета в деталях? Ну и на всякий случай... Вы не забыли учесть, что формула, строго говоря, позволяет сосчитать работу газа, при сжатии она будет отрицательной? Просто, кажется, это единственное место, где можно перепутать "больше" и "меньше".

[DimaM]

siago в сообщении #1285408 писал(а):

Однако расчет показывает, что эта работа не только не больше, но и не равна совершенной к моменту $P_2 = 2$, а получается меньшей. Вот в чем парадокс!

Это у вас расчет неправильный. Возможно, потому, что знак в формуле из первого сообщения неверный, возможно, по другой причине.
Правильный расчет показывает, что работа на адиабатическое дожатие от $2P_0$ до $4P_0$ будет больше, чем работа на сжатие от $P_0$ до $2P_0$ в $2^{(\gamma-1)/\gamma}$ раз.

[siago]

Pphantom в сообщении #1285412 писал(а):

А можно увидеть реализацию расчета в деталях?

Всё, товарищи! Разобрался, когда свел все в одну строку. Работа в третьем случае больше, чем сумма первых двух. А когда все было на разных листках, запутался. Вот в деталях три варианта одной задачи. Рассчитать работу компрессора по сжатию воздуха для 1) $T_1 = 300K, P_1 = 1, P_2 = 2$; 2) $T_1 = 300K, P_1 = 2, P_2 = 4$; и 3) $T_1 = 300K, P_1 = 1, P_2 = 4$. Процесс считать адиабатным. Решение: используем формулу для работы $ A = \frac{RT_1}{\gamma - 1}(1 - (\frac{P_2}{P_1})^\frac{\gamma - 1}{\gamma})$. Для ад.процесса считаем $ \gamma = k = 1,4$. Подставляем значения в формулу и получаем следующие результаты:
1) А= -47,16 кДж/кг; 2) А= -47,16 кДж/кг; 3) А= -104,64 кДж/кг.
Извините за беспокойство и огромное спасибо, что не бросили в беде! (Может, все это удалить, раз уж выяснилось, что вопрос был неверно поставлен?)

[Pphantom]

siago в сообщении #1285450 писал(а):

(Может, все это удалить, раз уж выяснилось, что вопрос был неверно поставлен?)

Зачем? Всякое бывает, на форуме подобных случаев довольно много.