действительное решение уравнения четвертой степени

[illuminates]

Здравсвуйте!
Мне нужна помощь в нахождении действительных решений уравнения (четвертой степени) где все величины положительны и действительны (включая все выражения под знаками корней). Мне удалось найти его комплексные корни. Получилось, что все четыре корня имеют как мнимую так и действительную части. Если выкинуть мнимую часть, то действительная не будет являться решением исходного уравнения (это происходит из-за того что мнимая часть всюду не мала).

Возможно, вся проблема в том, что я не уверен как можно правильно задать положительность всех исходных величин в уравнении. Вопрос: как можно объяснить математике что все величины изначально положительны и действительны?


Само уравнение

eqn = j - 
    Sqrt[q^2 + p^2 - 
      2 q p Cos[\[Theta]]] - \[Sqrt](p^2 + 
       1/2 (16 m5^2 + ma^2 + mp^2 - 
          Sqrt[(-(16 m5^2) - ma^2 - mp^2)^2 - 
            4 (ma^2 mp^2 - 16 m5^2 p^2)])) == 0;

И мое решение:

With[{gensol = Solve[eqn , p]}, 
  Block[{\[Theta] = Pi/12, m = 5.5, M = 300, Nc = 3, c = \!\(\*
TagBox[
InterpretationBox[
RowBox[{"\"\<-4.46874\>\"", "*", 
SuperscriptBox["10", "\"\<4\>\""]}],
-44687.3983417778,
AutoDelete->True],
ScientificForm]\), b = \!\(\*
TagBox[
InterpretationBox[
RowBox[{"\"\<1.61594\>\"", "*", 
SuperscriptBox["10", "\"\<5\>\""]}],
161593.81818181818`,
AutoDelete->True],
ScientificForm]\), k1 = \!\(\*
TagBox[
InterpretationBox[
RowBox[{"\"\<1.6485\>\"", "*", 
SuperscriptBox["10", "\"\<1\>\""]}],
16.485010961790245`,
AutoDelete->True],
ScientificForm]\), k2 = \!\(\*
TagBox[
InterpretationBox[
RowBox[{"\"\<-1.31313\>\"", "*", 
SuperscriptBox["10", "\"\<1\>\""]}],
-13.131344420001051`,
AutoDelete->True],
ScientificForm]\), ma, mp, 
    j},(*subs vals when gensol is evaluated*){j = \[Sqrt](q^2 + 
        1/2 (16 m5^2 + ma^2 + mp^2 + 
           Sqrt[(-(16 m5^2) - ma^2 - mp^2)^2 - 
             4 (ma^2 mp^2 - 16 m5^2 q^2)])), 
    ma = \[Sqrt](-2 (M^2 - 
          2 (3 k1 + k2) (Sqrt[(c + M^2 + 2 m5^2)/(2 (k1 + k2))] + 
             m b/(2 (c + M^2 + 2 m5^2)))^2 - c + 2 m5^2)), 
    mp = Sqrt[
     2 b m (Sqrt[(c + M^2 + 2 m5^2)/(2 (k1 + k2))] + 
        m b/(2 (c + M^2 + 2 m5^2)))^-1]};
   sols = gensol]];
qpC31 = Compile[{{q, _Complex}, {m5, _Complex}}, 
   Evaluate[p /. sols[[1]]], 
   RuntimeOptions -> "EvaluateSymbolically" -> False] ;
qpC32 = Compile[{{q, _Complex}, {m5, _Complex}}, 
   Evaluate[p /. sols[[2]]], 
   RuntimeOptions -> "EvaluateSymbolically" -> False] ;
qpC33 = Compile[{{q, _Complex}, {m5, _Complex}}, 
   Evaluate[p /. sols[[3]]], 
   RuntimeOptions -> "EvaluateSymbolically" -> False] ;
qpC34 = Compile[{{q, _Complex}, {m5, _Complex}}, 
   Evaluate[p /. sols[[4]]], 
   RuntimeOptions -> "EvaluateSymbolically" -> False] ;

На самом деле оно короче, просто вставилось длинно на форум.

Буду очень-очень благодарен за помощь!

[Pphantom]

А можно пояснить смысл проблемы? Вы решаете уравнение четвертой степени и нашли четыре комплексных корня. Поскольку больше корней у такого уравнения не бывает, то что, собственно, Вы хотите найти еще?

[dmd]

illuminates в сообщении #1284724 писал(а):

Мне нужна помощь в нахождении действительных решений уравнения (четвертой степени) где все величины положительны и действительны (включая все выражения под знаками корней).

Уравнение 4-й степени имеет четыре действительных корня, когда все корни кубической резольвенты действительны и положительны. А в кубическом уравнении три действительных корня в радикалах выражаются только через мнимости. Поэтому - не получится. Но не уверен на 100% в случае наличия кратных корней, поэтому - поправьте меня, если не прав.

[illuminates]

Для удобства хотел предоставить более красивый вид уравнения.



Pphantom
Просто некоторое физическое чутьё. Давайте я немного переформулирую вопрос. Если принять $ma^2 mp^2 = 16 m5^2 p^2$ (скажем так это крайний физический случай), то получается действительное решение. Далее мне хочется рассмотреть решения при $ma^2 mp^2>16 m5^2 p^2$. В физическом смысле там просто неоткуда взяться комплексности, поэтому есть надежда что её и не появится при расчётах. Математике не получилось это объяснить, то есть, если вместо

 Solve[eqn , p] 

написать

 Solve[eqn && ma^2 mp^2>16 m5^2 p^2, p] 

то математика просто отказывается считать (считает бесконечно долго).

Поэтому у меня была идея посчитать в общем случае, а затем рассмотреть области решений где нет комплексности. Но увы, таких областей не нашлось. Если накладывать условие $ma^2 mp^2>16 m5^2 p^2$ при постройке графиков, то комплексность также не вырезается.

Собственно, все эти рассуждения и привели к мысли что математика просто считает все переменные комплексными и надо изначально писать что-то вроде

Solve[eqn , p, Reals]

Но математика в таком случае опять отказывается считать.


dmd
Спасибо. Мне как раз хотелось чтобы кто-то посмотрел на задачу с математической точки зрения.

[Vince Diesel]

Не очень понятно по программе, что нужно. Выписать решения уравнения четвертого порядка, зависящего от двух параметров, явно? Раз у вас коэффициенты все равно числа с плавающей точкой, почему бы не использовать команду NSolve и все.

[illuminates]

Vince Diesel
Нужно построить решение p как функцию от q и m5:

Plot3D[qpC31,{q, 0, 500}, {m5, 0, 500}]

Явного решения находить не нужно.

[Pphantom]

illuminates в сообщении #1284977 писал(а):

Для удобства хотел предоставить более красивый вид уравнения.

В общем, первый вывод состоит в том, что формулы надо набирать правильно, а второй... в каком, собственно, смысле это "уравнение четвертой степени"?

[illuminates]

Pphantom
Это уравнение после нескольких возведенный в квадрат можно перевести к виду:
W_1 + W_2 \; p + W_3 \; p^2 + W_4 \; p^3 + W_5 \; p^4 = 0
где $W_1$, $W_2$, $W_3$, $W_4$, $W_5$ - длинные функции составленные из начальных параметров (их явный вид у меня есть, могу написать если интересно)

[Pphantom]

illuminates в сообщении #1285267 писал(а):

Это уравнение после нескольких возведенный в квадрат можно перевести к виду:

Кхм... на первый взгляд кажется, что нет, но ладно. Но тогда все совершенно непонятно с физическим чутьем - у такого уравнения более четырех корней не бывает.

[Geen]

А j - это мнимая единица?

[illuminates]

Geen в сообщении #1285270 писал(а):

А j - это мнимая единица?

Нет, это величина функция q и m5 и она в первом моём сообщении определяется как:

j = \[Sqrt](q^2 + 1/2 (16 m5^2 + ma^2 + mp^2 +  Sqrt[(-(16 m5^2) - ma^2 - mp^2)^2 -  4 (ma^2 mp^2 - 16 m5^2 q^2)]))

Но уравнение нужно решить относительно p, поэтому явный вид j неважен.


Pphantom
dmd
Собственно на сколько я помню мат. анализ то
Кубическое уравнение может иметь либо одно, либо три вещественных решений.
Уравнение четвертой степени, либо два либо четыре вещественных корня.
Поправьте пожалуйста если я не прав. И если это правда, я не понимаю почему все мои решения комплексы.

-- 18.01.2018, 13:58 --

dmd в сообщении #1284820 писал(а):

\
Уравнение 4-й степени имеет четыре действительных корня, когда все корни кубической резольвенты действительны и положительны. А в кубическом уравнении три действительных корня в радикалах выражаются только через мнимости.

Могли бы вы пожалуйста расшифровать своё утверждение. В частности, почему в кубическом уравнении три действительных корня в радикалах выражаются только через мнимости?

[grizzly]

illuminates в сообщении #1285342 писал(а):

Уравнение четвертой степени, либо два либо четыре вещественных корня.

(с учётом кратности). Либо ни одного: $x^4+1=0$.

-- 18.01.2018, 13:14 --

illuminates в сообщении #1285342 писал(а):

почему в кубическом уравнении три действительных корня в радикалах выражаются только через мнимости?

Посмотрите подробности по этой цитате в англовики:

Цитата:

In the case of three real roots, this solution expresses them in terms of non-real complex terms (since any choice of C is non-real) whose imaginary components offset each other but cannot be eliminated from the formula.

[Pphantom]

illuminates в сообщении #1285342 писал(а):

Собственно на сколько я помню мат. анализ то
Кубическое уравнение может иметь либо одно, либо три вещественных решений.
Уравнение четвертой степени, либо два либо четыре вещественных корня.
Поправьте пожалуйста если я не прав. И если это правда, я не понимаю почему все мои решения комплексы.

Либо их нет вообще.

Дело в том, что у уравнения 4-й степени всегда есть ровно 4 комплексных (в общем случае) корня, причем некоторые из них могут быть кратными. Да, часть из них могут оказаться вещественными, но если Вы уже нашли четыре комплексных, то это означает, что дальнейшие поиски бесполезны - никаких других не найдется.

[illuminates]

Pphantom в сообщении #1285354 писал(а):

дальнейшие поиски бесполезны - никаких других не найдется.

Я решил попробовать численный алгоритм в математике. И я не знаю почему, но находится только одно действительное решение. Я окончательно запутался.

start = 0;
finish = 1000;
step = 10;
(*********************************************************)
\[Theta] = Pi/12;
b = \!\(\*
TagBox[
RowBox[{"1.61594", "*", 
SuperscriptBox["10", "5"]}],
ScientificForm]\);
m = 5.5;
M = 300;
Nc = 3;
c = \!\(\*
TagBox[
RowBox[{
RowBox[{"-", "4.46874"}], "*", 
SuperscriptBox["10", "4"]}],
ScientificForm]\);
k1 = \!\(\*
TagBox[
RowBox[{"1.6485", "*", 
SuperscriptBox["10", "1"]}],
ScientificForm]\);
k2 = \!\(\*
TagBox[
RowBox[{
RowBox[{"-", "1.31313"}], "*", 
SuperscriptBox["10", "1"]}],
ScientificForm]\);
(*********************************************************)
m5 = Range[start, finish, step];

q = Range[start, finish, step];
(*********************************************************)

ma = \[Sqrt](-2 (M^2 - 
       2 (3 k1 + k2) (Sqrt[(c + M^2 + 2 m5^2)/(2 (k1 + k2))] + 
          m b/(2 (c + M^2 + 2 m5^2)))^2 - c + 2 m5^2));
mp = Sqrt[
  2 b m (Sqrt[(c + M^2 + 2 m5^2)/(2 (k1 + k2))] + 
     m b/(2 (c + M^2 + 2 m5^2)))^-1];

(*********************************************************)
j = \[Sqrt](q^2 + 
     1/2 (16 m5^2 + ma^2 + mp^2 + 
        Sqrt[(-(16 m5^2) - ma^2 - mp^2)^2 - 
          4 (ma^2 mp^2 - 16 m5^2 q^2)]));
eqn = j - 
   Sqrt[q^2 + p^2 - 
     2 q p Cos[\[Theta]]] - \[Sqrt](p^2 + 
      1/2 (16 m5^2 + ma^2 + mp^2 - Sqrt[(-(16 m5^2) - ma^2 - mp^2
             )^2 - 4 (ma^2 mp^2 - 16 m5^2 p^2)]));

(********************************************************************)

Table[Solve[eqn[[i]] == 0, p], {i, Length[q]}];

root = Flatten[p /. Table[Solve[eqn[[i]] == 0, p], {i, Length[q]}]];

root1 = DeleteCases[
   Table[If[root[[i]] > 0, root[[i]], False], {i, Length[root]}], 
   False];

points = Flatten[
  Table[{q[[i]], m5[[j]], root1[[i]]}, {i, Length[root1]}, {j, 
    Length[m5]}], 1]
(*********************************************************)
ListPlot3D[points]

[Dmitriy40]

Может стоит подставить все 5 найденных решений в исходное уравнение и оценить точность решений? Может где какая погрешность исходных данных влияет на неустойчивость решений?