Лиса, Утка и озеро.

[wrest]

Dmitriy40
В общем, чтобы рисунок не пропал, вот вам расчет.
В геогебре размеры выставлены с точностью 3-4 знака.

$AC=1/k=0,2172$
Утка плывет по зеленой траектории $CLG$, Лиса бежит по серой дуге $BG$.
Утка плывет влево, затем вниз, так что касается круга безопасности.
Длина зеленой траектории $1,411$
Длина дуги, деленая на скорость Лисы $1,318$ то есть Лиса Утку догоняет.
Если Утка плывет напрямую по $CG$, то длина траектории её $1,213$ и Лиса не догоняет, но нарушается условие не заплывать в круг безопасности.

Для Утки только один путь: по прямой

[Dmitriy40]

Нашёл ошибку в своих рассуждениях:

Dmitriy40 в сообщении #1284580 писал(а):

если утка продолжит движение строго прямо, то они встретятся в координатах $(0, 1)$.

это не выполняется, угол встречи утки с берегом будет не прямым.
Фактически я проверил задачу с строго вертикальным вверх движением утки. И нашёл что она не оптимальна, да. И что стоит отвернуть, что собственно ТС и предложил.

[wrest]

Ну что ж, остался один сомневающийся - ув. rockclimber

[worm2]

Любопытно, что максимальная скорость лучших пловцов на дистанции 50 м относится к максимальной скорости лучших бегунов на дистанции в 200 м примерно как 1:4. Однако на соревнованиях в бассейне пловцы отталкиваются от тумбочки и первые метры летят с гораздо большей скоростью. Если же плыть прямо из воды, без возможности отталкивания от чего-либо, то соотношение уменьшается. И по мотивам задачи можно организовывать соревнования между пловцом и бегуном: кто быстрее (и хитрее)

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1284623 писал(а):

Ну что ж, остался один сомневающийся - ув. rockclimber

Я не верю в Ваше решение - возвращаясь к кругу безопасности, утка ухудшает свое положение. Так как ее угловая скорость вне круга всегда меньше угловой скорости лисы.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1284650 писал(а):

Я не верю в Ваше решение - возвращаясь к кругу безопасности, утка ухудшает свое положение.

Вы про это?

wrest в сообщении #1284304 писал(а):

Из начальной позиции Утка начинает движение параллельно и однонаправленно с $Ox$ и как только Лиса побежала против часовой стрелки, Утка сразу поворачивает на $\pi$. Считаем, что этот маневр занимает пренебрежимо малое время.

Раньше верили:

EUgeneUS в сообщении #1284593 писал(а):

Поэтому если начинает утка, то лиса двигается в направлении уменьшения углового расстояния. Утка вынуждена изменить направление на противоположное. После чего все успокаивается: лиса бежит в одном направлении, утка плывёт по прямой.

[EUgeneUS]

wrest
Нет, не про это. А про решение с картинкой несколькими собщениями выше. Сорри, не могу вставить ссылку - пишу с утюга.
Upd: Там, где "зеленая траектория $CLG$".

[wrest]

EUgeneUS
А во что именно вы там не верите? Там написано, что если Утка плывет по зеленой траектории, то её догоняет Лиса и вычислено время прибытия к берегу обеих.
Лиса прибывает в 1,31 а Утка в 1,41 то есть позже Лисы.

[EUgeneUS]

wrest
Не верю, что это оптимальная траектория утки.
Upd: оптимальная траектория при заданном направлении лисы - по касательной $CL$ и далее по прямой.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1284658 писал(а):

Не верю, что это оптимальная траектория утки.
Upd: оптимальная траектория при заданном направлении лисы - по касательной $CL$ и далее по прямой.

Ну так правильно не верите. Оптимальная - в первом посте, по касательной.
Картинка с зеленой ломаной траекторией как раз и показывает что так Утка не убежит.

[Shadow]

Мне кажется, что будут проблемы при дискретизации процесса - когда объекты перемещаются мгновенно из точки в точку. Тогда лиса пересекает "идеальную" для утки линию, а она ничего сделать не сможет - не ее ход. Напр: (по чертежу)
утка - шаг на север
лиса - из т. $B$ в т. $B_1$ (обратно часовой стрелки)
утка - шаг на запад
лиса - отдыхает
утка - шаг на запад (достаточно далеко и от линии $BO$, и от линии $B_1O$) (O-центр окружности)
лиса - в т. $B$

"достаточно далеко и от линии $BO$, и от линии $B_1O$" может и не быть в начале - вблизи безопасного круга, но чем дальше от центра находится утка, тем больше расстояние м/у линиями.

А если проблемы с дискретизацией...

[rockclimber]

Shadow в сообщении #1284992 писал(а):

Мне кажется, что будут проблемы при дискретизации процесса - когда объекты перемещаются мгновенно из точки в точку.

Так напишите аналитическое решение! Я пробовал - у меня получаются формулы, с которыми за пять минут не справиться, а возиться дольше - лень. Да и то, что при дискретизации могут возникнуть проблемы, не означает, что они обязательно возникнут.
Решение wrest можно и без дискретизации рассмотреть. Когда утка выплывает из круга безопасности (КБ) в противоположном от лисы направлении, угол между ними строго 180 градусов. Лиса в этот момент делает выбор - идти вправо или влево. Как только она сделала выбор, угол стал меньше 180. После этого утка поворачивает в противоположную сторону. Лиса не может развернуться, потому что ее угловая скорость всегда больше, чем у утки, поэтому в выбранном направлении угол сокращается.
Это довольно тупая тактика для лисы, и я не уверен, что нелья найти лучше. Но найти пока не могу.

[wrest]

rockclimber в сообщении #1284995 писал(а):

Это довольно тупая тактика для лисы, и я не уверен, что нелья найти лучше.

Ну, тут какое дело... Стратегии Лисы можно разделить на три группы
1. Лиса учитывает только взаимное положение себя и Утки (т.е. только координаты).
2. Лиса учитывает координаты и первые производные (т.е. текущие положения и текущие скорости).
3. Лиса учитывает координаты, первые производные и какую-то предысторию.

Поскольку по условию задачи ускорение Лисы и Утки не ограничено, то первые производные координат (скорости) могут быть с разрывами. Так что их учет, на мой взгляд, теряет смысл.
Учет какой-то предыстории кажется вообще больше из области психологии, а не математики, так что третий пункт надобно отбросить совсем.

Возвращаясь ко второму пункту, можно было бы наложить ограничение на Утку и Лису и потребовать чтобы вторая производная от координат (т.е. ускорение) была ограничена. В этом случае у второго пункта появляется смысл: Лиса сможет предсказывать следующее положение Утки более точно.
Но тогда в задаче появляются еще два параметра -- максимальные ускорения Лисы и Утки, что как мне кажется, может очень сильно усложнить задачу.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1285003 писал(а):

1. Лиса учитывает только взаимное положение себя и Утки (т.е. только координаты).

Тут нужно заметить, что игра может начинаться с любой позиции утки вне круга безопасности, когда угол между лисой и уткой равен $\pi$.
При этом, чем дальше эта точка от круга безопасности - тем хуже для лисы.

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1285029 писал(а):

Тут нужно заметить, что игра может начинаться с любой позиции утки вне круга безопасности, когда угол между лисой и уткой равен $\pi$.

Игре, чтобы начаться, по-моему не важно какой угол, может начинаться с любого :)
Вопрос, конечно, куда плыть Утке? Но тут уже вроде разобрались, что плыть надо по прямой, являющейся одной из касательных к кругу безопасности: так максимизируется угол между Уткой и Лисой в момент прибытия Утки на берег.