2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение14.01.2018, 22:39 


29/10/16
7
Отшельник бродит по лесу и заметил, что встречает, в среднем, 5 зайчиков в день. Нарисовав гистограмму количества зайчиков, он понял, что они заданы по нормальному распределению:

Есть случайная величина "количество зайчиков в день": нормальное распределение (центр - 5, отклонение - 2).

Теперь ему предстоит понять, какая случайная величина характеризует время между соседними зайчиками?
Вычислительные методы показали, что она выглядит так:
Изображение

Но хотелось бы формулу вида:
$ \frac{AnyNumber}{normal(center, deviation) } = some distribution(param1, param2, ... ) $

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение14.01.2018, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Вы точно хотите нормальное распределение? Если да, то куда у Вас делись полпроцента отрицательных зайчиков?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение14.01.2018, 23:23 


29/10/16
7
Спасибо за ответ!

Вроде как, хотелось бы именно нормальное, но, можно, чтобы разобраться и не нормальное. Отрицательными зайцами пренебрегаем :) Нормально будет, если в расчётах пренебрегать не будем, допустим (для простоты), но в реальной программе, конечно, я их буду усекать.

Вообще говоря, хотелось бы уметь задавать, конечно, хоть какое-то распределение. Скажем, 8-12 зайчиков в день. В моей реальной задаче (не про зайцев), мне было бы желательно иметь что-то близкое к нормальному, да.

Извините за тавтологию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение14.01.2018, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8347
Цюрих
Xaositect в сообщении #1284115 писал(а):
Если да, то куда у Вас делись полпроцента отрицательных зайчиков?
Более сложный вопрос - насколько часто отшельник встречал дробное количество зайцев.

Если распределение действительно нормальное, а дробных и отрицательных зайцев не бывает, то дисперсия нулевая, и просто каждый день ровно 5 зайцев.

egslava, для оценки "среднего времени" недостаточно просто среднего количества, нужно еще знать как зайцы распределены по суткам - вдруг они бегают только стаями минимум по 2, или наоборот раньше чем через минуту после одного другой не побежит.

Если считать, что в любую конкретную минуту вероятность наткнуться на зайца одинакова, и отшельник бродит по лесу круглыми сутками (не могу придумать другой разумной модели), то, если за сегодня отшельник встретил $n$ зайцев, то чему равно мат. ожидание среднего времени между зайцами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение14.01.2018, 23:43 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Про распределение: англовики — не самый подробный справочник распределений, но она, судя по всему, «обратно-нормального» не знает (есть распределения с похожим названием, но они связаны с нормальным иначе).

Про форму:
egslava в сообщении #1284105 писал(а):
Но хотелось бы формулу вида:
$ \frac{AnyNumber}{normal(center, deviation) } = some distribution(param1, param2, ... ) $
Распределения друг на друга не делят, делят величины, так что такая формула немного некорректна. Правильнее спросить, если $A_1\sim\mathrm{Dist_1}(\mathrm{params_1})$, $A_2\sim\mathrm{Dist_2}(\mathrm{params_2})$ и, скажем, они независимы*, как распределена $A_1/A_2$.

* И это та причина, по которой распределения не делят — взаимоотношение случайных величин не задаётся отдельными их распределениями. Понятно, что константная случайная величина в паре с любой другой независимы, но это ведь частный случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение15.01.2018, 00:04 


29/10/16
7
> Более сложный вопрос - насколько часто отшельник встречал дробное количество зайцев.
Нисколько, т.к. я округляю, всё легально :) Распределение выглядит примерно так (сейчас добавлю в описание тоже):
Изображение

Вот, ещё я неправильно прикрепил картинку для нормального распределения зайцев (сейчас подредактирую). Вот распределение времени для НОРМАЛЬНОГО(5,1):
Изображение

А, вот для РАВНОМЕРНОГО (от 4 до 6):
Изображение

Так, вот, это НОРМАЛЬНОЕ(5,1) безумно похоже на ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ(0.48), которое я получил подбором:
Изображение

Вопрос: как бы получить 0.48 без подбора для произвольного СРЕДНЕГО и РАЗБРОСА нормального распределения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение15.01.2018, 06:55 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
egslava
У Вас явно самодельное что-то. Мне кажется, Вам пуассоновские процессы будут очень кстати. Почитайте. Там же и про распределение времени между событиями найдете. И да, оно показательно. И даже $0{,}48$ понятно сразу откуда берутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение15.01.2018, 07:21 


29/10/16
7
Otta в сообщении #1284164 писал(а):
egslava
Вам пуассоновские процессы будут очень кстати. Почитайте.


Здравствуйте! Спасибо большое за ответ!

Насколько я понимаю, имеется ввиду вот эта формула для распределения:
$ e^ { - \lambda } \frac{\lambda^k}{ k! } $

Я бы очень хотел её использовать, но тут только один настраиваемый параметр: $ \lambda $. Т.е. я могу задать, что у меня будет зайцев в среднем 5 за день, но не могу управлять дисперсией совсем. Но я не уверен. Мне казалось, что чем больше $ \lambda $, тем больше расползается и дисперсия. Не уверен, что это - хорошо. Может быть, можно как-нибудь менять дисперсию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение15.01.2018, 07:35 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
egslava
Для распределения Пуассона как математическое ожидание, так и дисперсия равны $\lambda $. Если уж вам так хочется более общую штуку (хотя непонятно зачем), рассмотрите $$p(k,\lambda ,\alpha ) = \frac{{{\lambda ^k}}}{{{{(k!)}^\alpha }}}\frac{1}{{\sum\limits_{i = 0}^{ + \infty } {\frac{{{\lambda ^i}}}{{{{(i!)}^\alpha }}}} }}$$
но тут для произвольных $\alpha $ замкнутых формул не ждите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение15.01.2018, 07:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
egslava в сообщении #1284173 писал(а):
Насколько я понимаю, имеется ввиду вот эта формула для распределения:
$ e^ { - \lambda } \frac{\lambda^k}{ k! } $

Вот Вы меня простите, но это не формула. Это невесть какое выражение. Чтобы это была формула, надо еще какую-то часть написать, то ли левую, то ли правую.

egslava в сообщении #1284173 писал(а):
Т.е. я могу задать, что у меня будет зайцев в среднем 5 за день, но не могу управлять дисперсией совсем.

Ну и что? Зачем Вам ею управлять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение15.01.2018, 09:48 


07/08/14
4231
А время между зайцами - это не те же самые зайцы, только отсутствующие? (всего в сутках $86 400$ секунды, те секунды, в которые зайцы присутствуют - нормально распределены, надо узнать распределение остальных).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение15.01.2018, 12:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Если появления зайцев не независимые события, то для того, чтобы оценить распределение интервалов между появлениями, надо ещё знать зависимость. А если независимые, то распределение числа встреченных зайцев пуассоновское, а не нормальное, и тогда интервалы распределены экспоненциально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как поделить число на нормальное распределение
Сообщение15.01.2018, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Теперь касательно "одного настроечного параметра" в Пуассоне. Он получается переходом от биномиального.
То есть за день есть n моментов времени, в каждый из которых заяц появится или не появится. В отличие от блондинки из анекдота, не будет полагать, что вероятности "появятся" и "не появятся" по 50%, скажем, что появляются с вероятностями p.
Тогда матожидание числа зайцев $M=np$, а дисперсия $D^2=np(1-p)$
Варьируя числом n и вероятностью p, можно получать разные значения параметров.
Но чтобы получить Пуассона, мы переходим к пределу, устремляя n к бесконечности и одновременно меняя p обратно пропорционально n, чтобы сохранялось матожидание M. В результате мы получим распределение с одним параметром, определяющим и M, и $D^2$.
Один из подходов - работать с биномиальным распределением, используя конечные n и варьируя также и p. Но "независимость зайцев" теряется, если на одном из n отрезков заяц обнаружен, там нет второго. Можно ввести зависимость вероятности обнаружить зайца, зависящую от числа обнаруженных. Можно считать параметр пуассоновского распределения случайной величиной, для каждого дня своей. В общем, тут "затруднение от избытка", можно построить много моделей, и для них ответ на Ваш вопрос будет разным.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group