Как поделить число на нормальное распределение

[egslava]

Отшельник бродит по лесу и заметил, что встречает, в среднем, 5 зайчиков в день. Нарисовав гистограмму количества зайчиков, он понял, что они заданы по нормальному распределению:

Есть случайная величина "количество зайчиков в день": нормальное распределение (центр - 5, отклонение - 2).

Теперь ему предстоит понять, какая случайная величина характеризует время между соседними зайчиками?
Вычислительные методы показали, что она выглядит так:


Но хотелось бы формулу вида:
$ \frac{AnyNumber}{normal(center, deviation) } = some distribution(param1, param2, ... ) $

[Xaositect]

Вы точно хотите нормальное распределение? Если да, то куда у Вас делись полпроцента отрицательных зайчиков?

[egslava]

Спасибо за ответ!

Вроде как, хотелось бы именно нормальное, но, можно, чтобы разобраться и не нормальное. Отрицательными зайцами пренебрегаем :) Нормально будет, если в расчётах пренебрегать не будем, допустим (для простоты), но в реальной программе, конечно, я их буду усекать.

Вообще говоря, хотелось бы уметь задавать, конечно, хоть какое-то распределение. Скажем, 8-12 зайчиков в день. В моей реальной задаче (не про зайцев), мне было бы желательно иметь что-то близкое к нормальному, да.

Извините за тавтологию.

[mihaild]

Xaositect в сообщении #1284115 писал(а):

Если да, то куда у Вас делись полпроцента отрицательных зайчиков?

Более сложный вопрос - насколько часто отшельник встречал дробное количество зайцев.

Если распределение действительно нормальное, а дробных и отрицательных зайцев не бывает, то дисперсия нулевая, и просто каждый день ровно 5 зайцев.

egslava, для оценки "среднего времени" недостаточно просто среднего количества, нужно еще знать как зайцы распределены по суткам - вдруг они бегают только стаями минимум по 2, или наоборот раньше чем через минуту после одного другой не побежит.

Если считать, что в любую конкретную минуту вероятность наткнуться на зайца одинакова, и отшельник бродит по лесу круглыми сутками (не могу придумать другой разумной модели), то, если за сегодня отшельник встретил $n$ зайцев, то чему равно мат. ожидание среднего времени между зайцами?

[arseniiv]

Про распределение: англовики — не самый подробный справочник распределений, но она, судя по всему, «обратно-нормального» не знает (есть распределения с похожим названием, но они связаны с нормальным иначе).

Про форму:

egslava в сообщении #1284105 писал(а):

Но хотелось бы формулу вида:
$ \frac{AnyNumber}{normal(center, deviation) } = some distribution(param1, param2, ... ) $

Распределения друг на друга не делят, делят величины, так что такая формула немного некорректна. Правильнее спросить, если $A_1\sim\mathrm{Dist_1}(\mathrm{params_1})$, $A_2\sim\mathrm{Dist_2}(\mathrm{params_2})$ и, скажем, они независимы*, как распределена $A_1/A_2$.

* И это та причина, по которой распределения не делят — взаимоотношение случайных величин не задаётся отдельными их распределениями. Понятно, что константная случайная величина в паре с любой другой независимы, но это ведь частный случай.

[egslava]

> Более сложный вопрос - насколько часто отшельник встречал дробное количество зайцев.
Нисколько, т.к. я округляю, всё легально :) Распределение выглядит примерно так (сейчас добавлю в описание тоже):


Вот, ещё я неправильно прикрепил картинку для нормального распределения зайцев (сейчас подредактирую). Вот распределение времени для НОРМАЛЬНОГО(5,1):


А, вот для РАВНОМЕРНОГО (от 4 до 6):


Так, вот, это НОРМАЛЬНОЕ(5,1) безумно похоже на ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ(0.48), которое я получил подбором:


Вопрос: как бы получить 0.48 без подбора для произвольного СРЕДНЕГО и РАЗБРОСА нормального распределения?

[Otta]

egslava
У Вас явно самодельное что-то. Мне кажется, Вам пуассоновские процессы будут очень кстати. Почитайте. Там же и про распределение времени между событиями найдете. И да, оно показательно. И даже $0{,}48$ понятно сразу откуда берутся.

[egslava]

Otta в сообщении #1284164 писал(а):

egslava
Вам пуассоновские процессы будут очень кстати. Почитайте.

Здравствуйте! Спасибо большое за ответ!

Насколько я понимаю, имеется ввиду вот эта формула для распределения:
$ e^ { - \lambda } \frac{\lambda^k}{ k! } $

Я бы очень хотел её использовать, но тут только один настраиваемый параметр: $ \lambda $. Т.е. я могу задать, что у меня будет зайцев в среднем 5 за день, но не могу управлять дисперсией совсем. Но я не уверен. Мне казалось, что чем больше $ \lambda $, тем больше расползается и дисперсия. Не уверен, что это - хорошо. Может быть, можно как-нибудь менять дисперсию?

[Ms-dos4]

egslava
Для распределения Пуассона как математическое ожидание, так и дисперсия равны $\lambda $. Если уж вам так хочется более общую штуку (хотя непонятно зачем), рассмотрите

$$p(k,\lambda ,\alpha ) = \frac{{{\lambda ^k}}}{{{{(k!)}^\alpha }}}\frac{1}{{\sum\limits_{i = 0}^{ + \infty } {\frac{{{\lambda ^i}}}{{{{(i!)}^\alpha }}}} }}$$

но тут для произвольных $\alpha $ замкнутых формул не ждите.

[Otta]

egslava в сообщении #1284173 писал(а):

Насколько я понимаю, имеется ввиду вот эта формула для распределения:
$ e^ { - \lambda } \frac{\lambda^k}{ k! } $

Вот Вы меня простите, но это не формула. Это невесть какое выражение. Чтобы это была формула, надо еще какую-то часть написать, то ли левую, то ли правую.

egslava в сообщении #1284173 писал(а):

Т.е. я могу задать, что у меня будет зайцев в среднем 5 за день, но не могу управлять дисперсией совсем.

Ну и что? Зачем Вам ею управлять?

[upgrade]

А время между зайцами - это не те же самые зайцы, только отсутствующие? (всего в сутках $86 400$ секунды, те секунды, в которые зайцы присутствуют - нормально распределены, надо узнать распределение остальных).

[Евгений Машеров]

Если появления зайцев не независимые события, то для того, чтобы оценить распределение интервалов между появлениями, надо ещё знать зависимость. А если независимые, то распределение числа встреченных зайцев пуассоновское, а не нормальное, и тогда интервалы распределены экспоненциально.

[Евгений Машеров]

Теперь касательно "одного настроечного параметра" в Пуассоне. Он получается переходом от биномиального.
То есть за день есть n моментов времени, в каждый из которых заяц появится или не появится. В отличие от блондинки из анекдота, не будет полагать, что вероятности "появятся" и "не появятся" по 50%, скажем, что появляются с вероятностями p.
Тогда матожидание числа зайцев $M=np$, а дисперсия $D^2=np(1-p)$
Варьируя числом n и вероятностью p, можно получать разные значения параметров.
Но чтобы получить Пуассона, мы переходим к пределу, устремляя n к бесконечности и одновременно меняя p обратно пропорционально n, чтобы сохранялось матожидание M. В результате мы получим распределение с одним параметром, определяющим и M, и $D^2$.
Один из подходов - работать с биномиальным распределением, используя конечные n и варьируя также и p. Но "независимость зайцев" теряется, если на одном из n отрезков заяц обнаружен, там нет второго. Можно ввести зависимость вероятности обнаружить зайца, зависящую от числа обнаруженных. Можно считать параметр пуассоновского распределения случайной величиной, для каждого дня своей. В общем, тут "затруднение от избытка", можно построить много моделей, и для них ответ на Ваш вопрос будет разным.