Диф уравнение в квант мехе

[Хет Зиф]

Найти зависимоть минимального $E(\beta)$ в главном приближении для уравнения:

$$u''(\varphi)+[E(\beta)-\alpha \cos \varphi]u(\varphi)=0 , \alpha >>1$$

$$u(0)=e^{2\pi i \beta}u(2\pi)$$

$\beta \in R$ - некий заданный параметр.

[ewert]

Хет Зиф писал(а):

Найти зависимоть минимального $E(\beta)$ в главном приближении для уравнения:

$$u''(\varphi)+[E(\beta)-\alpha \cos \varphi]u(\varphi)=0 , \alpha >>1$$

$$u(0)=e^{2\pi i \beta}u(2\pi)$$

$\beta \in R$ - некий заданный параметр.

задача некорректна -- для ДУ 2-го порядка нужны 2 граничных условия

(а если второе добавить, то возникнет ещё одна претензия)

[Хет Зиф]

Да, забыл доп условие, функция $u(\varphi)e^{-i\beta\varphi} $ периодична,
откуда доп условие:

$$e^{i\beta 2\pi} u'(2\pi)= u'(0)$$

[ewert]

Тогда возражения снимаются.

Боюсь, что даже в первом приближении ответ не зависит от $\beta$ и должен иметь вид $E\sim a-C\sqrt a$, где $C$ -- наименьшее собственное число некоторого стандартного гармонического осциллятора (точное значение забыл, а лезть в книжки и смотреть, чему оно равно конкретно -- лень).

Мы имеем дело с задачей вида $A\,u=E\,u$, где $A=-{d^2\over d\varphi^2}+a\,\cos(\varphi)$ -- самосопряжённый оператор с указанными граничными условиями. Известно, что спектр такого оператора зажат между спектрами соотв. задач Неймана и Дирихле (т.е. с нулевыми граничными условиями на, соотв., саму функцию и на её производную). Сделаем "предположение, оправдываемое результатом" -- что основное с.ч. близко в каком-либо смысле к дну потенциальной ямы, т.е. к точке $(-a)$. Поскольку собственные функции экспоненциально убывают вглубь "классически запрещённой" области, спектры задач Дирихле и Неймана (точнее, их начальные участки) будут экспоненциально мало отличаться друг от друга с ростом $a$.

Теперь сделаем две вещи. Во-первых, сдвинем начало координат в центр ямы $\pi$, т.е. перейдём к отрезку $-\pi;\pi]$. Во-вторых, перейдём от $E$ к спектральному параметру $\lambda=E+a$. Имеем уравнение:

$$-u''+a\cdot2\sin^2\left({\varphi\over2}\right)\,u=\lambda\,u.$$

Предполагая, что с.ф. сосредоточена в малой окрестности нуля, получаем асимптотически гармонический осциллятор с потенциалом $a\cdot{\varphi^2\over2}$. Делая замену $\varphi=\gamma t$ и выбирая $\gamma=a^{-1/4}$ (для выравнивания порядков слагаемых), получим

$$-u''+{t^2\over2}\,u={\lambda\over\sqrt a}\,u.$$

Вот, собственно, и всё.

Конечно, это лишь эскиз и надо наводить тут марафет. Но чего-то не вижу, на чём здесь можно проколоться.

[Bard]

Да, конечно, Мы имеем дело с задачей вида $A\,u=E\,u$, где $A=-{d^2\over d\varphi^2}+a\,\cos(\varphi)$ -- самосопряжённый оператор с указанными граничными условиями, но потенциал меняет знак. Наименьшее с.ч. будет отрицательным. Видимо, надо где-то изменить знак в формуле, предложенной ewert.

[Cervix]

ewert писал(а):

Боюсь, что даже в первом приближении ответ не зависит от $\beta

Дело в том, что это задача о чувсвительности энергии основного состояния к граничным условиям (по сути $\beta$ играет здесь роль квазиимпульса). И по условию ее нужно решать в том приближении, когда от $\beta хоть что-то зависит. Как вариант есть такое решение:

Т.к. $\alpha\gg 1$, то в.ф. сосредоточена в окрестностях $\phi=2\pi k$ и раскладываясь до осциллятора можно прийти к ($\lambda\to 0$ - вводится на всякий случай для нормировки)

\[ u=\sqrt[8]{\frac{2\pi^2}{\alpha}}\sqrt{\th(2\pi\lambda)}e^{-\lambda|\phi|}e^{-i\beta\phi}\sum_k \exp\left\{-\sqrt{\alpha}\frac{(\phi+2\pi k)^2}{4}}\right\} \]

Откуда для E:

\[ -E(\beta)=\int d\phi u\left(\partial_{\phi\phi}-\alpha\cos\phi\right)u \approx \alpha-\sqrt{\frac{\alpha}{2}}-\beta^2 \]

но это мое решение, в то же время есть не до конца проверенное утверждение, что зависимость должна быть экспоненциально слабой. И есть проверенное утверждение - любые ответы с квадратичной зависимостью от $\beta$ составителем задачи не принимаются. Что делать - непонятно.

сообщение отредактировано — текст убран из под тега math // нг

[Не_вари_козла]

Cervix
А можно поподробнее, как вы пришли к разложению $u(\phi)$?

[Cervix]

Не_вари_козла писал(а):

А можно поподробнее, как вы пришли к разложению $u(\phi)$ ?

Можно, но, как я уже сказал, решение нужно заранее считать ошибочным, либо не до конца верным.

Т.к. $\alpha\gg 1$, то в.ф. функция сосредоточена в малых областях $\phi=2\pi k$. Например в окресности $\phi=0$ имеем:

\[ \Psi''+\left(\varepsilon+2\alpha-\alpha\phi^2\right)\Psi=0\qquad\Psi=\sqrt[8]{\frac{\alpha}{\pi^2}}\exp\left\{-\frac{\sqrt{\alpha}\phi^2}{2}\right\} \]

Тогда полную в.ф. можно составить из этих пробных $\Psi$, размещая их во всех "ямах". Также нужно удовлетворить гран. условие, для чего домножаем все на $\e^{-i\beta\phi}$ и каждая яма будет иметь свою фазу. Итого:

\[ u=C e^{-i\beta\phi}\sum_k \Psi(\phi+2\pi k) \]

Окончательное выражение с $\lambda$ получается из условий нормировки на 1.

сообщение отредактировано — текст убран из под тега math // нг

[Не_вари_козла]

А там вырождение, случаем, не будет сниматься? Вообще, точное решение выражается через функции Матье (поправлено). Точное решение в принципе можно найти в справочнике.

[Cervix]

Не_вари_козла писал(а):

А там вырождение, случаем, не будет сниматься?

Если имеется ввиду вырождение по $\beta$, то - да. Мы теряем эквивалентность $\beta\to\beta+2\pi k$. Как вариант - можно изначально сказать что задача не чувствительна к таким заменам и рассматривать $\beta\in[0,2\pi]$. Но, как я уже не раз сказал - решение ошибочное. С удовольствием приму любые конструктивные предложения ,замечания и исправления:lol:
Точное решение - некие функции Матье. Все бы было хорошо, но про них не сильно много написано, либо я плохо искал.

[Не_вари_козла]

Я к тому, что, поскольку ямы периодичны, затравочное решение для одиночного осциллятора может не подойти: вырождение может сняться. Это как зоны образуются: при сближении атомов уровни расщепляются. И соответствующие вф тоже меняются.
Гугл выдаёт сразу: http://ok.on.ufanet.ru/zoo/mathieu.htm
Только там какие-то иероглифы вместо формул.

[Cervix]

Не_вари_козла
Вырождение по какому параметру?
Есть даже более интересная статья вот. В ней рассматриваются интересующие гран. условия, но там нет случая $\alpha\gg 1$.

[Cervix]

Люди, никто не знает статейки, типа той, что я дал в предыдущем посте, про аппроксимацию уравнения Матье с такими гран условиями, но $\alpha\gg 1&?

[ewert]

вот-вот: какое вырождение, когда основные состояния всегда невырожденны?

[Cervix]

В книжке Bateman "Higher Transcendental Functions vol. 3" нашел выражение для случая $-\alpha<\varepsilon<\alpha$:

\[ \cos \pi\beta=\cos\left[\frac{1}{2}\mathbf{Re}\int_0^\pi\sqrt{\varepsilon-\alpha\cos 2t}dt\right]\cosh\left[\frac{1}{2}\mathbf{Im}\int_0^\pi\sqrt{\varepsilon-\alpha\cos 2t}dt\right]+O(\varepsilon^{-1/2})\quad\textrm{при $\varepsilon\to\infty$} \]

Никто не знает, как отсюда можно было бы выцепить нужную зависимость?