Частная производная и полная производная

[Solaris86]

Вопрос такой: почему обозначения частной производной (например, $\frac{\partial z}{\partial x}$ для функции z = f (x; y)) и полной производной (например, $\frac{dz}{dt}$ для функции $z = f (t; x(t); y(t))$) нельзя рассматривать как дроби? Об этом написано везде, но не объяснена причина этого (ну, хотя бы Фихтенгольц http://old.pskgu.ru/ebooks/f1/5_3.pdf стр. 377-378 и Википедия https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0 ... 0%B8%D0%B8). Я понимаю, что это надо вызубрить, но, возможно, есть какое-то простое объяснение этим фактам?

[Anton_Peplov]

А что стоит в числителе дроби $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ и что в знаменателе?

[Solaris86]

Anton_Peplov в сообщении #1283647 писал(а):

А что стоит в числителе дроби $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ и что в знаменателе?

Об этом нигде не написано...
Но есть такая формула $\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{d_xz}{dx}$, откуда можно сделать вывод, что в числителе дроби $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ частный дифференциал функции, а в знаменателе - дифференциал аргумента. Не так?

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1283644 писал(а):

Вопрос такой: почему обозначения частной производной (например, $\frac{\partial z}{\partial x}$ для функции z = f (x; y)) и полной производной (например, $\frac{dz}{dt}$ для функции $z = f (t; x(t); y(t))$) нельзя рассматривать как дроби? Об этом написано везде, но не объяснена причина этого

А откуда вообще у Вас взялась идея, что их можно рассматривать как дроби?
Например, Вы знаете в обозначении $\frac{\partial z}{\partial x}$, что такое $\partial z$ и что такое $\partial x$? Я вот не знаю.

Это как с вопросом "Существуют ли инопланетяне?"
Их никто не видел, поэтому априори можно считать, что их нет.
Но если кто-то говорит, что инопланетяне есть, то это именно он должен предоставить доказательства их существования, а не требовать от других доказательств их отсутствия.
Так же и здесь: априори непонятно, с чего вдруг $\frac{\partial z}{\partial x}$ можно было бы рассматривать как дробь. Если кто-то считает что можно, пусть он и доказывает что можно, и начнёт с определения, что такое вообще $\partial z$ и $\partial x$.

(То, что запись похожа на дробь - не аргумент; мало ли какую запись можно придумать.)

----------

Полную производную можно понимать как частное дифференциалов, но априори это тоже неочевидно и требует доказательства.

[Dan B-Yallay]

Solaris86 в сообщении #1283656 писал(а):

Но есть такая формула $\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{dz_x}{dx}$

Где она "есть"?
Можно ссылку на учебник/источник?

[Anton_Peplov]

Dan B-Yallay в сообщении #1283659 писал(а):

Где она "есть"?
Можно ссылку на учебник/источник?

Что-то я таких "частных дифференциалов", как у ТС в числителе, тоже не упомню.

[Solaris86]

Dan B-Yallay в сообщении #1283659 писал(а):

Где она "есть"?
Можно ссылку на учебник/источник?

http://old.pskgu.ru/ebooks/f1/5_3.pdf стр. 378

[Anton_Peplov]

Ссылки так не делаются. Назовите автора и название учебника.

[Dan B-Yallay]

Anton_Peplov в сообщении #1283661 писал(а):

Что-то я таких "частных дифференциалов", как у ТС в числителе, тоже не упомню.

Я тоже не припоминаю, -- поэтому и спросил. Tем не менее по предложенной ссылке:

Вложение:

partial.png [ 66.27 Кб | Просмотров: 0 ]

И даже в Вики:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0 ... 0%B0%D1%8F
(Раздел "Обозначения")

[Solaris86]

Mikhail_K в сообщении #1283657 писал(а):

(То, что запись похожа на дробь - не аргумент; мало ли какую запись можно придумать.)

Я понимаю, что запись можно придумать любую, но эта форма записи, которую предложил Якоби, не самая удачная, что ли...

-- 12.01.2018, 23:26 --

Anton_Peplov в сообщении #1283667 писал(а):

Ссылки так не делаются. Назовите автора и название учебника.

Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1

-- 12.01.2018, 23:29 --

Anton_Peplov в сообщении #1283661 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #1283659 писал(а):

Где она "есть"?
Можно ссылку на учебник/источник?

Что-то я таких "частных дифференциалов", как у ТС в числителе, тоже не упомню.

Я понимаю, что адресовано не мне, но хотелось бы узнать, что такое числитель ТС?

[Dan B-Yallay]

Solaris86 в сообщении #1283644 писал(а):

Вопрос такой: почему обозначения частной производной (например, $\frac{\partial z}{\partial x}$ для функции z = f (x; y)) и полной производной (например, $\frac{dz}{dt}$ для функции $z = f (t; x(t); y(t))$) нельзя рассматривать как дроби? Об этом написано везде, но не объяснена причина этого

В статье Вики, на которую я привел ссылку выше есть пояснение:

Цитата:

Часто непонимание факта цельности символа $ {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} $ является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение $ {\displaystyle \partial x} $ в выражении ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}} $

-- Пт янв 12, 2018 14:31:49 --

Solaris86 в сообщении #1283673 писал(а):

Я понимаю, что адресовано не мне, но хотелось бы узнать, что такое числитель ТС?

ТС = Tопик Cтартер, тот кто открыл тему. Так что никакого "числителя" у Вас быть не должно. Ну или же только в паре со "знаменателем".

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1283644 писал(а):

Вопрос такой: почему обозначения частной производной (например, $\frac{\partial z}{\partial x}$ для функции z = f (x; y)) и полной производной (например, $\frac{dz}{dt}$ для функции $z = f (t; x(t); y(t))$) нельзя рассматривать как дроби? Об этом написано везде, но не объяснена причина этого

Пусть на некотором открытом множестве $W\subseteq\mathbb R^3$ задана функция трёх переменных $F(x,y,z)$. Предполагаем, что она имеет непрерывные частные производные $\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}$, $\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial y}$, $\frac{\partial F(x,y,z)}{\partial z}$, не равные $0$ в рассматриваемой точке и, следовательно, в некоторой окрестности этой точки.
Каждую из переменных $x$, $y$, $z$ будем рассматривать как функцию двух других, заданную неявно уравнением $F(x,y,z)=0$. Если обозначения частных производных считать дробями, то, очевидно, должно выполняться равенство

$$\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial x}{\partial z}=1.$$

Между тем, прямое вычисление по формуле частной производной неявной функции даёт

$$\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial x}{\partial z}=-1.$$

Между прочим, как раз на странице 378 учебника Г. М. Фихтенгольца, на которую Вы ссылаетесь, об этом прямым текстом сказано.

Исправление: исправил опечатку, из-за которой формулы отображались неправильно (вместо \partial было \partiial).

[arseniiv]

К исходному контексту:
Если смотреть немного более изнутри (но не в полной общности — там уж поинтереснее штуки вылезают типа производной Радона—Никодима или производной обобщённой функции), у функции существует только одна производная в смысле того, что это некоторая инвариантная штуковина, зависящая только от функции; она же дифференциал (в общем случае никаких дробей). Умножая его на векторы, можно получать производные по направлениям (дробей нет). Частные производные возникают, когда на области определения функции есть система координат (например, всё рассматриваемое пространство — пространство $n$-к чисел), тогда мы берём производные по выделенным ею направлениям возрастания одной из координат при фиксированных остальных (и тут всё ещё никаких дробей не появляется). «Полная производная» — вообще (моё личное предубеждение) не пойми что: в лучшем случае это просто странное название для выражения производной какой-то хитроопределённой композиции функций через что-нибудь. Не знаю, почему ей в некоторых курсах упорно уделяют так много внимания и ещё и фокусируются на том, что частная, дескать, такая-то, а эта такая-то: так, разумеется, она по построению другая, и если бы не выделять её особо среди всяческих других композиций, может, и путаницы было бы меньше.

Дробь можно получить в единственном случае,* том самом простейшем из всех, когда дифференциал функции из некоторого достаточно хорошего для этого множества в себя пропорционален дифференциалу тождественной функции, и вот мы их можем себе разрешить поделить друг на друга и получить число.

* Пусть меня поправят.

[Solaris86]

Dan B-Yallay в сообщении #1283674 писал(а):

В статье Вики, на которую я привел ссылку выше есть пояснение:
Цитата:
Часто непонимание факта цельности символа $ {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} $ является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение $ {\displaystyle \partial x} $ в выражении ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}} $

Я когда-то задавался вопросом, почему минус, умноженный/деленный на минус, даёт плюс... Нашёл только такое объяснение: потому что тогда не будут решаться уравнения и всё. Случай с частной производной аналогичный: это так, потому что иначе будут сокращения в числителе и знаменателе, которые дадут неверный результат...
Но всё-таки частные производные и дифференциалы высших порядков создают ОЧЕНЬ сильную иллюзию дроби (по аналогии с производной):
$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
$d^2z = d\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy\right)$
$d^2z = \left(\dfrac{\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy \right)'_x \cdot dx + \left(\dfrac {\partial z}{\partial x}dx + \dfrac{\partial z}{\partial y}dy \right)'_y \cdot dy$
$d^2z = \left(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx + \dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}dy \right) \cdot dx + \left(\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dx + \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy \right) \cdot dy$
$d^2z = \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2 + 2 \cdot \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy + \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2 = \left(\dfrac{\partial}{\partial x}dx + \dfrac{\partial}{\partial y}dy \right)^2 \cdot z$
Иллюзию дроби вызывают:
1. Равенство $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}dxdy = \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy$
2. Равенство $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2 + 2 \cdot \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy + \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2 = \left(\dfrac{\partial}{\partial x}dx + \dfrac{\partial}{\partial y}dy \right)^2 \cdot z$, которое по сути является таким выражением $\left(\dfrac{a}{b}c + \dfrac{a}{d}e\right)^2 \cdot f$

[Dan B-Yallay]

Еще более курьёзный пример. Рассмотрим следующее произведение частных производных от функций $f(x,y), \ g(x,y)$ по разным переменным. Если бы можно было с частными производными обращаться как с дробями, то имели бы:

$$ \dfrac {\partial f}{\partial x}\cdot \dfrac {\partial g}{\partial y} = \dfrac {\partial f}{\partial y}\cdot \dfrac {\partial g}{\partial x}$$

-- Пт янв 12, 2018 16:25:21 --

Solaris86 в сообщении #1283686 писал(а):

частные производные и дифференциалы высших порядков создают ОЧЕНЬ сильную иллюзию дроби

Это иллюзия, не более того. Например в первой из них тогда "должно" быть:

$$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial^2 z}{\partial^2 x^2}$$

либо

$$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial^2 z}{(\partial x)^2}$$