Частная производная и полная производная

[Solaris86]

Dan B-Yallay в сообщении #1283687 писал(а):

Это иллюзия, не более того. Например в первой из них тогда "должно" быть:

$$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial^2 z}{\partial^2 x^2}$$

либо

$$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial^2 z}{(\partial x)^2}$$

А что можете сказать про вторую?

-- 13.01.2018, 01:33 --

Someone в сообщении #1283683 писал(а):

Если обозначения частных производных считать дробями, то, очевидно, должно выполняться равенство

$$\frac{\partial y}{\partiial x}\cdot\frac{\partial z}{\partiial y}\cdot\frac{\partial x}{\partiial z}=1.$$

Между тем, прямое вычисление по формуле частной производной неявной функции даёт

$$\frac{\partial y}{\partiial x}\cdot\frac{\partial z}{\partiial y}\cdot\frac{\partial x}{\partiial z}=-1.$$

Я не совсем понял, тут имелось в виду
$\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial x}{\partial z}=1$ и $\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial x}{\partial z}=-1$?

[arseniiv]

Dan B-Yallay в сообщении #1283687 писал(а):

либо

$$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) = \dfrac{\partial^2 z}{(\partial x)^2}$$

Ну, это-то как раз наблюдается, и всего лишь, понятное дело, в силу соглашения записи.

Solaris86 в сообщении #1283690 писал(а):

А что можете сказать про вторую?

Опять же в силу записи. Вместо квадрата там справа, например, композиция операторов (а вместо умножения на $z$ применение к нему, и в таких случаях точку почти никогда не пишут).

-- Сб янв 13, 2018 03:37:45 --

Кстати, непонятно, где там у вас иллюзия дроби, т. к. это максимум лишь иллюзия умножения. Ну а дроби после этого, если их представить, конечно же, будут умножаться как дроби — числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Только дифференцируемая функция не будет входить ни в один числитель.

[Solaris86]

arseniiv в сообщении #1283692 писал(а):

Только дифференцируемая функция не будет входить ни в один числитель.

Не понял этой фразы.

[arseniiv]

Ну вы же не перемножаете «дроби» $\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\cdots}{\cdots}$, вы перемножаете «дроби» $\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}$, а это тривиальные успехи обозначительных искусств. Когда же говорят о том, что $\frac{dz}{dx}$ может рассматриваться как дробь, имеют в виду именно такую, а не $\frac d{dx}$. Уже это несоответствие должно родить подозрения.

[mihaild]

Solaris86 в сообщении #1283686 писал(а):

1. Равенство $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}dxdy = \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy$
2. Равенство $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2 + 2 \cdot \dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy + \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2 = \left(\dfrac{\partial}{\partial x}dx + \dfrac{\partial}{\partial y}dy \right)^2 \cdot z$, которое по сути является таким выражением $\left(\dfrac{a}{b}c + \dfrac{a}{d}e\right)^2 \cdot f$

Эти равенства - всего лишь следствие операторных равенств (а точнее того, что операторы $\dfrac{\partial}{\partial x}$ и $\dfrac{\partial}{\partial y}$ коммутируют) и соглашений о записи.
Собственно вполне возможно что соглашения о записи были выбраны специально чтобы получились равенства, похожие на равенства дробей.

[Solaris86]

arseniiv в сообщении #1283694 писал(а):

Когда же говорят о том, что $\frac{dz}{dx}$ может рассматриваться как дробь, имеют в виду именно такую, а не $\frac d{dx}$. Уже это несоответствие должно родить подозрения.

А как же такая запись, которая имеет место быть: $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dz}{dx}\right) = \dfrac{d^2z}{dx^2}$?

[arseniiv]

Она имеет место только потому, что $z$ всего одна и находится справа.

[Dan B-Yallay]

Solaris86 в сообщении #1283696 писал(а):

А как же такая запись, которая имеет место быть: $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dz}{dx}\right) = \dfrac{d^2z}{dx^2}$?

Заметьте, что реального деления ни на дифференциал от $x^2$ ни на квадрат $(dx)^2$ там так и не происходит. Последнее могло бы иметь место, если бы вторая производная определялась через симметрическую разность:

$$ {\displaystyle f''(x)=\lim _{\Delta x \to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-2f(x)+f(x-\Delta x)}{(\Delta x) ^{2}}}}$$

Но с этим проблема: определённая таким образом "вторая производная" может существовать даже у разрывной функции. Поэтому реально указанная запись означает

$$\dfrac d {dx} \left(\dfrac {df}{dx}\right) = \dfrac {d(\frac{df}{dx})}{dx}$$

Kак отметил arseniiv, иллюзия умножения числителей и знаменателей -- это

arseniiv в сообщении #1283692 писал(а):

всего лишь, понятное дело, в силу соглашения записи.

[Someone]

Solaris86 в сообщении #1283690 писал(а):

Я не совсем понял, тут имелось в виду
$\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial x}{\partial z}=1$ и $\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial x}{\partial z}=-1$?

Да. Спасибо всем, кто написал мне об опечатках в моём сообщении. Исправить смог только недавно.

Если рассматривать обозначения типа $\frac{\partial y}{\partial x}$ как дроби, то в произведении этих дробей можно сокращать общие множители вверху и внизу, и произведение $\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial x}{\partial z}$ сокращается до $1$. А на самом деле это произведение равно $-1$.

[Solaris86]

Кстати говоря, недоразумение с желанием сократить исчезает, если подкорректировать обозначение: вместо
$\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{\partial x}{\partial z}=-1$
использовать
$\frac{\partial y(x;z)}{\partial x}\cdot\frac{\partial z(x;y)}{\partial y}\cdot\frac{\partial x(y;z)}{\partial z}=-1$
Тут уже ничего не хочется сокращать
Или такие варианты:
$\frac{d_xy}{dx}\cdot\frac{d_zy}{dy}\cdot\frac{d_zx}{dz}=-1$
$\frac{d_xy(x;z)}{dx}\cdot\frac{d_zy(x;y)}{dy}\cdot\frac{d_zx(y;z)}{dz}=-1$
Это верно?

[arseniiv]

А теперь перейдите от обозначения $\dfrac{d_x f}{dx}$ (кстати, а с чего буквы прямые-то стали?) к $D_x f$, чего одно и то же два раза писать. (А, я уже забыл про тот «частный дифференциал».)

Solaris86 в сообщении #1284436 писал(а):

Это верно?

Обозначения и определения не бывают верными или неверными. (Хотя бывают удачными и неудачными, общепринятыми и необщепринятыми).