задачи на элементарную комбинаторику, расстановки по кругу

[Rushi]

пожалуйста помогите разобраться в задачах, ответы есть, надо понять как они получились! :)
1) Сколько существует разных вариантов расстановок 12 студенток и 8 студентов в кругу, так чтобы два студента не стояли рядом и с каждой студенткой рядом стоял минимум один студент.
Ответ: 12!*7!*${8\choose 4}$
Я так понимаю задачу, сначала мы расскавляем 12 студенток, всего 12! перестановок, между этими 12 студентками черед две студентки я расставляю 6 студентов, получается 12!*12*5! и из оставшихся 6 мест между студентками я выбираю два, для оставшихся 2 студентов, тоесть 12!*12*5!*${6\choose 2}$. Подскажите в чем неправильность моего решения, что я упускаю?

2) Дана схема 7 на 7(из клеточек), ходить можно только по горизонтальным и вертикальным линиям. Сколько разных путей существует от нижнего левого угла к верхнему правому?

Ответ:
Если в каждой клеточке писать количество предпологаемых ходов, то получается треугольник Паскаля. Почему тогда ответ ${14\choose 7}$?
Буду благодарна за подсказку, надеюсь понятно все объяснила...

[luitzen]

Rushi писал(а):

Сколько разных путей существует от нижнего левого угла к верхнему правому?
…
Если в каждой клеточке писать количество предпологаемых ходов, то получается треугольник Паскаля.

Возможно, что под ходом имеется в виду перемещение на любое число полей вверх или вправо.

[RIP]

Rushi писал(а):

2) Дана схема 7 на 7(из клеточек), ходить можно только по горизонтальным и вертикальным линиям. Сколько разных путей существует от нижнего левого угла к верхнему правому?

Ответ:
Если в каждой клеточке писать количество предпологаемых ходов, то получается треугольник Паскаля. Почему тогда ответ ${14\choose 7}$?
Буду благодарна за подсказку, надеюсь понятно все объяснила...

Правильно, треугольник Паскаля. И именно поэтому ответ $\binom{14}7$. Можно и по-другому объяснить: всего надо сделать 14 ходов, 7 вверх и 7 вправо...

[Архипов]

В задаче про количество вариантов из 14 ходов ходы можно закодировать О и 1. Тогда применима формула количества сочетаний, когда нолей и единиц поровну.

Rushi писал(а):

1) Сколько существует разных вариантов расстановок 12 студенток и 8 студентов в кругу, так чтобы два студента не стояли рядом и с каждой студенткой рядом стоял минимум один студент

У меня третий вариант ответа получился. Разместим студентов по углам восьмиугольника. Пронумеруем 8 углов. На 8 сторонах будем размещать 12 студенток. Как я понял условие - студенток нужно разместить (или по одной, или по две) на каждой стороне (3,4,5 нельзя).
Тогда престановок студентов будет 8! , престановок студенток 12! , сочетаний из 4 пар и 4 единиц - 8!/(4!*4!).

[RIP]

Архипов писал(а):

Тогда престановок студентов будет 8!

На самом деле 7!, поскольку $n$ человек можно расставить по кругу $(n-1)!$ способами (обычно не различают расстановки, получающиеся друг из друга поворотом).

[PAV]

Правильно, и поэтому мне кажется, что ответ в задаче исходно неверный. Должно быть 7! вместо 8!, если в круге дело происходит. Ну а способ решения Архипов'а правильный.

[PAV]

PAV писал(а):

Правильно, и поэтому мне кажется, что ответ в задаче исходно неверный. Должно быть 7! вместо 8!, если в круге дело происходит.

Ответ в первом посте верный. Мне почему-то почудилось, что там 8! стояло.