Спасибо, но пока что для меня такое объяснения слишком сложно. Я еще не работал с понятием "поле",
Для практических целей пока что достаточно знать, что поле -- это множество, на котором введены операции сложения и умножения, и при этом имеют обратные (вычитание и деление), и при этом выполняются всем привычные свойства этих операций. Пока -- вполне достаточно, аксиоматиками можно будет заморачиваться и позже.
Простейшее конечное поле -- это
, в котором все операции определены естественным образом, кроме одного:
или, что эквивалентно,
. Легко видеть, что все естественные свойства арифметических операций выполняются. Причём это поле -- вовсе не игрушечное. Его можно интерпретировать как множество логических значений
; при этом сложению отвечает логическая операция "
", умножению -- операция "
". Так вот, в этом поле линейно независимы одночлены
и
, а при добавлении следующих степеней независимость уже нарушается.
Но если Вам неохота во всё это вникать, то и правильно. Я тогда завёл речь о конечных полях лишь для того, чтобы подчеркнуть: из только свойств арифметических операций линейная независимость не следует. Следует лишь теорема Безу. А вот уже из неё (с учётом бесконечности интересующих нас полей) -- очевидным образом следует и независимость.