Произведение Гильбертовых пространств.

[Dan B-Yallay]

Проглядывая в Bики статью о тензорном произведении гильбертовых пространств с меня слетела шляпа споткнулся на введении скалярного произведения:

Wikipaedia писал(а):

Since Hilbert spaces have inner products, one would like to introduce an inner product, and therefore a topology, on the tensor product that arise naturally from those of the factors. Let $H_1$ and $H_2$ be two Hilbert spaces with inner products $\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}$ and $ \displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}$, respectively. Construct the tensor product of $H_1$ and $H_2$ as vector spaces as explained in the article on tensor products. We can turn this vector space tensor product into an inner product space by defining

$${\displaystyle \langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1},\psi _{1}\rangle _{1}\,\langle \phi _{2},\psi _{2}\rangle _{2}\quad {\mbox{for all }}\phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}{\mbox{ and }}\phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}}$$

and extending by linearity. That this inner product is the natural one is justified by the identification of scalar-valued bilinear maps on $H_1 \times H_2$ and linear functionals on their vector space tensor product.

Вопрос: как определяется умножение на число $\alpha элемента $\varphi_1\otimes \varphi_2 \in H_1 \times H_2$?

Если как $\alpha (\varphi_1\otimes \varphi_2) = \alpha \varphi_1\otimes \alpha \varphi_2$, то ломается аксиома скалярного произведения (для простоты рассмотрим вещественный случай):

$$\begin{align}\langle \alpha (\varphi_1\otimes \varphi_2)\ ,\ \psi_1\otimes\psi_2\rangle &=\langle \alpha \varphi_1\otimes \alpha \varphi_2\ ,\ \psi_1\otimes\psi_2\rangle \\ & = \langle\alpha \varphi_1, \psi_1\rangle_1 \ \langle\alpha \varphi_2, \psi_2\rangle_2\\ & = \alpha^2\langle \varphi_1, \psi_1\rangle_1\ \langle \varphi_2, \psi_2\rangle_2 \\ & \ne \alpha \langle \varphi_1\otimes \varphi_2\ ,\ \psi_1\otimes\psi_2\rangle \end{align}$$

Если умножение на число определено как-то по-другому, тогда как складываются элементы? Неужели не покомпонентно?

Собственные попытки решение: повторил аксиомы скалярного умножения.

PS. Такое ощущение дежа вю, что кто-то вроде уже спрашивал нечто подобное. Hо поиском не нашёл (a из меня Google тот еще...).

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #1283105 писал(а):

Вопрос: как определяется умножение на число $\alpha элемента $\varphi_1\otimes \varphi_2 \in H_1 \times H_2$?

А как оно в обычном тензорном произведении конечномерных векторных пространств определяется?

-- Ср, 10 янв 2018 16:49:16 --

Dan B-Yallay в сообщении #1283105 писал(а):

Неужели не покомпонентно?

Покомпонентно было бы прямое произведение (или прямая сумма, что в данном случае то же самое).

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1283107 писал(а):

А как оно в обычном тензорном произведении конечномерных векторных пространств определяется?

Там идёт какая-то алгебра со свободными модулями, которую я уже не помню, если вообще изучал:

Wiki писал(а):

From the Cartesian product $V × W$, the free vector space $F(V \times W)$ over $K$ is formed. The vectors of $V ⊗ W$ are then defined to be the equivalence classes of the congruence generated by the following relations on $F(V \times W)$:

$$ {\displaystyle {\begin{aligned} &\forall v,v_{1},v_{2}\in V,\forall w,w_{1},w_{2}\in W,\forall c\in K:\\&(v_{1},w)+(v_{2},w)\sim (v_{1}+v_{2},w),\\ &(v,w_{1})+(v,w_{2})\sim (v,w_{1}+w_{2}),\\ &c(v,w)\sim (cv,w),\\&c(v,w)\sim (v,cw). \end{aligned}}} $$

В таком случае, конечно, ничего не "ломается". А мне надо поковыряться в литературе.

Спасибо за подсказку.

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #1283110 писал(а):

какая-то алгебра со свободными модулями

Ну есть рабоче-крестьянское определение -- если $\{e_i\}$ базис в $A$, $\{f_j\}$ базис в $B$, то $A\otimes B$ -- пространство, натянутое на $\{e_i\otimes f_j\}$, где пока что $\otimes$ просто обозначение. Операция $\otimes \colon A\times B\to A\otimes B$ определяется как $(\sum a_i e_i)\otimes (\sum b_j f_j)=\sum a_i b_j(e_i\otimes f_j)$, и можно проверить, что она согласована с предыдущим обозначением (в смысле что оба определения $e_i\otimes f_j$ совпадают). Соответственно, можно дальше доказывать, что $c(f\otimes g)=(cf)\otimes g=f\otimes (cg)$ и т. д.

Концептуальное определение -- это обычно то, что в статье в Вики называется "Universal property", а процитированная Вами конструкция с модулями -- доказательство существования объекта, обладающего этим Universal property, не апеллирующее к базису и конечномерности.

[Dan B-Yallay]

g______d
Спасибо за дополнительные пояснения.
Тему можно закрывать.