Внутренность суммы Минковского выпуклых множеств

[ikozyrev]

Решаю задачку: Доказать что относительная внутренность множества суммы Минковского двух выпуклых множеств равна сумме Минковского относительных внутренностей этих множеств.
Включение в одну сторону: Пусть у нас есть одна внтуренняя точка $x$ из первого множетсва $C_1$ и одна внтуренняя точка $y$ из второго множетсва $C_2$, тогда берем сумму первой точки и шара радиуса $\varepsilon$ вокруг второй точки: $B_{\varepsilon}(z)=x+B_{\varepsilon}(y)$ получаем шар вокруг точки $z=x+y$ который полностью лежит в $C_1+C_2$.
Включение в другую сторону: Берем внутреннюю точку $z\in C_1+C_2$ и окружаем шаром радиуса $\varepsilon$, который полностью лежит в $C_1+C_2$. Тогда должны найтись такие внутренние точки $x\in C_1$ и $y\in C_2$ так чтобы $z=x+y$. Пусть такие точки не найдутся. И вот тут начинаются проблемы. Даже в случае если обе точки - не внтуренние, сложно придти к противоречию, например для множеств $C_1=[0;1], C_2=[2,3]$ представление внтуренней точки $3\in C_1+C_2$ может быть $3=1+2$, то есть внутренняя точка суммы в данном случае является суммой двух невнутренних точек. Понятно, что есть и представление этой точки как суммы двух внутренних (3=0.5+2.5), но как доказать что в общем случае это возмжно? И как-то тут надо еще выпуклостью воспользоваться... Может дадите подсказку в каком напрвлении думать...

[svv]

ikozyrev в сообщении #1282651 писал(а):

Пусть у нас есть одна внтуренняя точка $x$ из первого множетсва $C_1$ и одна внтуренняя точка $y$ из второго множетсва $C_2$, тогда берем сумму первой точки и шара радиуса $\varepsilon$ вокруг второй точки: $B_{\varepsilon}(z)=x+B_{\varepsilon}(y)$ получаем шар вокруг точки $z=x+y$ который полностью лежит в $C_1+C_2$.

Мне кажется, так у Вас в общем случае не получится шар нужной размерности. Скажем, на плоскости пусть $C_1$ — отрезок на оси абсцисс, $C_2$ — отрезок на оси ординат, $C_1+C_2$ — прямоугольник. Множество $x+B_\varepsilon(y)$ (вертикальный отрезок без его концов) «защищает» точку $x+y$ сверху и снизу, но не слева и справа. Поэтому вывода о том, что точка $x+y$ внутренняя для множества $C_1+C_2$, сделать пока нельзя.

[ikozyrev]

svv в сообщении #1282668 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1282651 писал(а):

Пусть у нас есть одна внтуренняя точка $x$ из первого множетсва $C_1$ и одна внтуренняя точка $y$ из второго множетсва $C_2$, тогда берем сумму первой точки и шара радиуса $\varepsilon$ вокруг второй точки: $B_{\varepsilon}(z)=x+B_{\varepsilon}(y)$ получаем шар вокруг точки $z=x+y$ который полностью лежит в $C_1+C_2$.

Мне кажется, так у Вас в общем случае не получится шар нужной размерности. Скажем, на плоскости пусть $C_1$ — отрезок на оси абсцисс, $C_2$ — отрезок на оси ординат, $C_1+C_2$ — прямоугольник. Множество $x+B_\varepsilon(y)$ (вертикальный отрезок без его концов) «защищает» точку $x+y$ сверху и снизу, но не слева и справа. Поэтому вывода о том, что точка $x+y$ внутренняя для множества $C_1+C_2$, сделать пока нельзя.

Да, согласен, тут надо оба шара складывать. Понятно, что если сложить $B_\varepsilon(x)+B_\varepsilon(y)$ то получим множество, окружающее $z$ с каким-то радиусом. Но вот с обратным включением сложнее...взяв произвольные точки составляющие $z$, мы можем попасть на границы множеств, и из них надо как-то изготовить внтуренние. Для одномерного случая понятно пусть $\varepsilon = \min(l_1,l_2)$, где $l_1,l_2$ - длины интервалов $C_1, C_2$, сдвигаем чуть первую точку от границы внутрь множества на $\varepsilon/2$ а вторую точку - на ту же $\varepsilon/2$ в другую сторону (они не могут быть одновременно на левом конце интервала или одновременно на правом, потому что тогда бы их сумма была бы граничной точкой множества $C_1+C_2$), и получаем внутренние точки сумма которых равна $z$, что нам и надо. А вот что с многомерием делать? там надо двигаться по нормали к опорной гиперплоскости... и тут выкладки становятся нетривиальными...

Хотя...мы же по каждой из координат такие шарики можем выстроить, а значит окружить некоей окрестностью. Верно?

[vpb]

Я сам эту область плохо знаю, но кое-что могу подсказать.
1) Не путаете ли Вы внутренность и открытость с относительной внутренностью или открытостью? Тогда в доказательстве импликации в одну сторону у Вас, вероятно, пробел.
2) Попробуйте доказать следующее. Пусть $V$ --- конечномерное евклидово пространство, $V_1$, $V_2$ --- два его подпространства. Тогда для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что $B_\varepsilon\cap V_1+B_\varepsilon\cap V_2$ содержит $B_\delta\cap(V_1+V_2)$, где $B_\varepsilon$ обозначает $B_\varepsilon(0)$.
(для бесконечномерных евклидовых пространств это неверно).

[vpb]

ikozyrev
Знаете, так совпало, что я сейчас изучаю основы выпуклого анализа, пока по книжкам А.С.Солодовников, Системы линейных неравенств (из серии "Популярные лекции по математике") и Р.Рокафеллар, Выпуклый анализ. И та, и другая по мне очень читабельные. Точнее, удовлетворяют сочетанием охвата материала и
легкости освоения (это для моей ситуации так, кому-то и "не пойдет"). В общем, рассматриваемая задача --- это из Рокафеллара следствие 6.6.2. Как раз сегодня с утра я это и освоил. И вынес такое мнение, насчет возможности решить задачу самостоятельно "с нуля". В одну сторону доказать не так уж сложно, а вот в обратную сомнительно. Я, правда, не знаю, какой вам там в НМУ материал дают по данным вопросам, на базе каких знаний, так сказать, Вы задачи решаете, но у меня так вышло. А Рокафеллар, кстати, очень хорошо написан, и там еще есть подробные указания, типа советы читателю, что более важно, что менее. Так что если его воспринимать как "листочки", по схеме прочитал теорему, доказал самостоятельно (если получается),
идет очень хорошо (у меня так, во всяком случае).

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1282877 писал(а):

ikozyrev
Знаете, так совпало, что я сейчас изучаю основы выпуклого анализа, пока по книжкам А.С.Солодовников, Системы линейных неравенств (из серии "Популярные лекции по математике") и Р.Рокафеллар, Выпуклый анализ. И та, и другая по мне очень читабельные. Точнее, удовлетворяют сочетанием охвата материала и
легкости освоения (это для моей ситуации так, кому-то и "не пойдет"). В общем, рассматриваемая задача --- это из Рокафеллара следствие 6.6.2. Как раз сегодня с утра я это и освоил. И вынес такое мнение, насчет возможности решить задачу самостоятельно "с нуля". В одну сторону доказать не так уж сложно, а вот в обратную сомнительно. Я, правда, не знаю, какой вам там в НМУ материал дают по данным вопросам, на базе каких знаний, так сказать, Вы задачи решаете, но у меня так вышло. А Рокафеллар, кстати, очень хорошо написан, и там еще есть подробные указания, типа советы читателю, что более важно, что менее. Так что если его воспринимать как "листочки", по схеме прочитал теорему, доказал самостоятельно (если получается),
идет очень хорошо (у меня так, во всяком случае).

Спасибо!
На самом деле я пытаюсь все листочки НМУ сначала решить сам, может и коряво и не так красиво, но получается решить примерно 90% задач. Если что-то непонятно - пишу сюда или гуглю, или ищу литературу, но не сразу а "помучавшись" :) Рокфеллера возьму на чтение, выпуклый анализ мне как тема нравится, и особенно в связке с тополгией.
По поводу этой задачи - да, тут явно мне кажется она выходит за рамки читавшегося курса.

P.S. Прочитал доказательство 6.6 и следствия 6.6.2. Вполне соответсвует уровню конца первого семестра НМУ. Но до такого элегантного хода с операторами я сам бы не додумался конечно.

[vpb]

ikozyrev в сообщении #1282901 писал(а):

На самом деле я пытаюсь все листочки НМУ сначала решить сам, может и коряво и не так красиво, но получается решить примерно 90% задач. Если что-то непонятно - пишу сюда или гуглю, или ищу литературу, но не сразу а "помучавшись"

Это хороший, правильный образ действий.

[ikozyrev]

vpb в сообщении #1282956 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1282901 писал(а):

На самом деле я пытаюсь все листочки НМУ сначала решить сам, может и коряво и не так красиво, но получается решить примерно 90% задач. Если что-то непонятно - пишу сюда или гуглю, или ищу литературу, но не сразу а "помучавшись"

Это хороший, правильный образ действий.

Вобще цель - не формальная сдача экзаменов, а начать разбираться в материале двух первых курсов НМУ досконально, так чтобы остальные курсы были уже доступны сходу. Хотя и сданные экзамены мотивируют тоже сильно.