Использование векторного произведения в физике

[arseniiv]

(Очередное ворчание)

Интересно, сколько ещё веков векторное произведение (и наивные определения псевдовекторов) будет использоваться в образовании и путать людей? Особенно по поводу вращения, где важна отнюдь не смена знака при отражении, а алгебра $\mathfrak{so}(n)$, образуемая бивекторами. Вот если бы у нас было 4-мерное пространство, псевдовекторы и векторное произведение бы так прочно не засели…

[valambar]

Насколько я помню, векторное произведение имеет прямой физический смысл в электромагнитном взаимодействии - векторы электростатических сил перпендикулярны магнитным. А другие прямые физические применения векторного произведения где еще встречаются?

[DimaM]

valambar в сообщении #1282640 писал(а):

векторы электростатических сил перпендикулярны магнитным

В общем виде это утверждение неверно.

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1282163 писал(а):

есно, сколько ещё веков векторное произведение (и наивные определения псевдовекторов) будет использоваться в образовании и путать людей? Особенно по поводу вращения, где важна отнюдь не смена знака при отражении, а алгебра $\mathfrak{so}(n)$, образуемая бивекторами. Вот если бы у нас было 4-мерное пространство, псевдовекторы и векторное произведение бы так прочно не засели…

а вы уравнения движения твердого тела напишите в этих терминах, и сразу разговор станет предметным

[arseniiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1282674 писал(а):

а вы уравнения движения твердого тела напишите в этих терминах, и сразу разговор станет предметным

Вы так говорите, как будто вывести это что-то труднореализуемое и более неестественное, чем с использованием векторного произведения. Векторное произведение определимо как звёздочка Ходжа от внешнего, вот так его везде и раскроем. После чего поснимаем с бывших псевдовекторов звёздочки и соответственно подкорректируем смешаные и двойные векторные произведения, в которые те входят.

Какие конкретные препятствия видите? Сообщите, и я с радостью прокомментирую. А вот выписывать всё здесь по одному мановению руки, извините, не стану.

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1282712 писал(а):

Какие конкретные препятствия видите?

Абсолютно ни каких не вижу. Вижу усложнение формализма в том, что вы предлагаете. Потому, хотя бы, что бивектор это двухвалентный тензор, а вектор (хоть и аксиальный) -- одновалентный. Угловая скорость, например, имеет прозрачный физический смысл, а что бы придать физический смысл соответствующему бивектору, все равно придется вводить угловую скорость.

arseniiv в сообщении #1282712 писал(а):

А вот выписывать всё здесь по одному мановению руки, извините, не стану.

Доказывать, преимущество ваших предложений перед стандартным формализмом это ваша задача. А если вы отказываетесь это делать "по одному мановению" то это значит, что вы просто занимаетесь болтовней.

[Walker_XXI]

(pogulyat_vyshel)

pogulyat_vyshel в сообщении #1282716 писал(а):

Угловая скорость, например, имеет прозрачный физический смысл, а что бы придать физический смысл соответствующему бивектору

Извините, что вмешиваюсь, но у Вас немного странное понимание прозрачности и физического смысла. Учащимся наоборот часто трудно понять, почему вращение и его угловую скорость надо ассоциировать с каким-то вектором (конструкция выглядит весьма искусственной). Ну, вдоль оси вращения - ещё ладно, но почему направление вращения должно указываться не в плоскости вращения, а "направлением" оси (да ещё и зависеть от выбора системы координат, хотя физическое вращение от выбора с.к. не зависит) - это загадка. У соответствующего бивектора физический смысл куда проще: один вектор задаёт центр вращения, другой - линейную скорость точки при вращении отн. центра (тут и с направлением вопросов нет). Как говорится, вся механика процесса перед глазами.

[arseniiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1282716 писал(а):

А если вы отказываетесь это делать "по одному мановению" то это значит, что вы просто занимаетесь болтовней.

Или я просто не хочу тратить время на выписывание/переписывание того, что и так всем понятно.

pogulyat_vyshel в сообщении #1282716 писал(а):

Угловая скорость, например, имеет прозрачный физический смысл, а что бы придать физический смысл соответствующему бивектору, все равно придется вводить угловую скорость.

Ну вот мы и приехали, называется. А вот представьте четырёхмерное евклидово пространство, у чего у вас там будет прозрачный физический смысл?

Разложимый бивектор — это элемент плоскости поворота, его ориентация совпадает с ориентацией вращения и величина задаёт величину поворота. Произвольный задаст комбинацию поворотов в ортогональных плоскостях (потому что существует сумма соответствующих разложимых, равная ему). В любой размерности.

[pogulyat_vyshel]

Хорошо, я повторю вопрос, который уже задавал. Пусть у нас имеется твердое тело с неподвижной точкой $O$. Теорема об изменении кинетического момента имеет вид:

$$J_O\boldsymbol{\dot\omega}+[\boldsymbol\omega,J_O\boldsymbol\omega]=\boldsymbol M_O.$$

Напишите плз это уравнение в желательных вам терминах. Особо меня интересуют члены, содержащие оператор инерции $J_O$ т. e. скажем член $J_O\boldsymbol\omega$

[arseniiv]

Спасибо за конкретику. Вот смотрю я на $J_O$ и осознаю, что к чему-то кроме псевдовекторов он традиционно-то и не применяется! Это значит, что если мы сразу будем считать, что это оператор на бивекторах, ничего вокруг него менять и не нужно. Остаётся векторное произведение псевдовектора на псевдовектор, которое можно заменить механически: было $\mathbf u\times\mathbf v = \mathbf w$ для псевдовекторов $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$, стало $\star u\times\star v = \star w$ для бивекторов $u,v,w$, и дальше $\star(\star u\wedge\star v) = \star w$ и $\star u\wedge\star v = w$. (Вообще, видимо, $A\times B$ в случае псевдовекторов $A,B$ должно бы переводиться как $\star^{-1}(A\wedge B)$, а не как $\star(A\wedge B)$, но по трёхмерному евклидову случаю никак нельзя знать, $\star$ или $\star^{-1}$! И это, я считаю, одна из проблем формул с $\times$ — в зависимости от того, сколько аргументов псевдовекторы, имеется в виду три вообще-то разных операции. Вывод формулы из первых принципов дал бы возможность знать точно, но вы не привели ссылок — а было бы неплохо, вместо угадайки можно было бы знать точно, как и в каком объёме переделывать.) Так что в результате имеем

$$J_O\dot\omega + \star\omega\wedge\star(J_O\omega) = M_O.$$

Пусть кто-нибудь проверит.

В компонентах

$$(\star u\wedge\star v)_{kk'} = \frac12|\det g| u^{ij} v^{i'j'} (\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{i'j'k'} - \varepsilon_{ijk'} \varepsilon_{i'j'k}),$$

я тут ничего упростить не смог (чтобы найти какое-то более вменяемое выражение). Сама формула непростая (и вообще странная какая-то как и само векторное произведение двух псевдовекторов).

Предвижу два ответа: «ну и посмотрите, что короче» по поводу $\star\omega\wedge\star(J_O\omega)$ против $\boldsymbol\omega\times J_O\boldsymbol\omega$, но это не аргумент, и «где же определение нового $J_O$?», и оно будет попозже.

[Pphantom]

arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):

Вывод формулы из первых принципов дал бы возможность знать точно, но вы не привели ссылок

Это же фактически уравнения Эйлера (разве что их чаще пишут покомпонентно).

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):

Вот смотрю я на $J_O$ и осознаю, что к чему-то кроме псевдовекторов он традиционно-то и не применяется! Это значит, что если мы сразу будем считать, что это оператор на бивекторах, ничего вокруг него менять и не нужно.

Оператор переводящий бивекторы в бивекторы это тензор 4 ранга т.е. был тензор второго ранга стал тензор 4 ранга. В чем состоит упрощение?

arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):

в результате имеем

$$J_O\dot\omega + \star\omega\wedge\star(J_O\omega) = M_O.$$

$\star\omega$ это тензор 2 ранга, внешнее произведение тензоров второго ранга это тензор 4 ранга. В левой части формулы тензор 2 ранга $J_O\dot\omega$ складывается с тензором 4 ранга $\star\omega\wedge\star(J_O\omega) $
Что-то тут не сходится, то ли вы еще одну звезду забыли привесить то ли что

arseniiv в сообщении #1282795 писал(а):

но это не аргумент

аргумент и еще какой

-- 10.01.2018, 10:44 --

Ой как это я сразу не заметил, кососимметрический тензор 4 ранга в $\mathbb{R}^3$ это тождественный ноль: $\star\omega\wedge\star(J_O\omega)\equiv 0$

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1282824 писал(а):

$\star\omega$ это тензор 2 ранга

По какому учебнику вы берёте определение $\star$?

Потому что не хочется вас подозревать в элементарном невладении аппаратом, и в такой мотивации неприятия позиции оппонентов.

[realeugene]

(Оффтоп)

Затаившийся охотник выскочил из засады, чтобы уложить слона.

[arseniiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1282824 писал(а):

$\star\omega$ это тензор 2 ранга

$(3-2)$-го ранга. Я уже переделал все псевдовекторы в бивекторы (что обозначил снятием жирности).

pogulyat_vyshel в сообщении #1282824 писал(а):

Оператор переводящий бивекторы в бивекторы это тензор 4 ранга т.е. был тензор второго ранга стал тензор 4 ранга. В чем состоит упрощение?

Бивекторы образуют линейное пространство и сами по себе, над ними линейный оператор будет тензором второго ранга. То, что «вообще» он будет тензором четвёртого, никакой intrinsic сложности не добавляет.

Вообще я постараюсь накопить желание и освоить соответствущую часть литературы

Pphantom в сообщении #1282801 писал(а):

Это же фактически уравнения Эйлера (разве что их чаще пишут покомпонентно).

и нарисовать уравнение нормально, а не угадайкой по трёхмерному, но пока не накопилось. Буду признателен, если кто-то это сделает за меня. Пока мне точно не нравится, как туда входит звёздочка Ходжа, тут по-хорошему ещё остаётся показывать независимость от выбора ориентации.