2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
AlexeyM в сообщении #1282329 писал(а):
Вот об этом я и пишу :) Функции разные.
Ещё раз. Это у Вас функции разные. А в определении в учебнике заранее задана одна функция. И у неё указана область определения. Вот по этой области Вы и должны искать предел. Если Вы рассмотрите один и тот же "закон отображения", но с разными областями определения, то пределы в этих случаях могут оказаться разными. Или может оказаться, что для одной функции предел существует, а для другой (с тем же законом, но с другой областью определения) -- не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:21 


19/04/11
69
thething в сообщении #1282331 писал(а):
AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):
включающее в себя точку, в которой мы ищем предел?

Вот это неправильно, точка - она предельная, но не обязана лежать в области определения


Хорошо, переформулировать несложно: включающее в себя некую проколотую окрестность точки $x_0$. Суть-то вопроса от этого не изменится. Вот, поправил:

AlexeyM в сообщении #1282329 писал(а):
Функции разные. И получается, доказывать, что $\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=A$ нужно будет заново: для каждого множества $E_i$, на котором определена функция $f(x)$ и которое включает в себя некую проколотую окрестность точки $x_0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:24 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
AlexeyM в сообщении #1282333 писал(а):
Я же имел в виду, что область X может быть совершенно различной, - а значит будут различаться и функции, путь даже они задаются одинаковым выражением. Такого понятия как "вся область определения" у Зорича, разумеется, нет.

Есть, Вы его процитировали еще раз. А обозначение по-прежнему так и не привели. Не может быть, чтобы его там не было, оно потом вовсю используется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:25 


19/04/11
69
grizzly в сообщении #1282334 писал(а):
AlexeyM в сообщении #1282329 писал(а):
Вот об этом я и пишу :) Функции разные.
Ещё раз. Это у Вас функции разные. А в определении в учебнике заранее задана одна функция. И у неё указана область определения. Вот по этой области Вы и должны искать предел. Если Вы рассмотрите один и тот же "закон отображения", но с разными областями определения, то пределы в этих случаях могут оказаться разными. Или может оказаться, что для одной функции предел существует, а для другой (с тем же законом, но с другой областью определения) -- не существует.


Ок. Допустим, я рассмотрю функцию $f=x^2$, определённую на $E=(2;5)$ и покажу, что предел её при $x\to{4}$ равен 16. После этого, если я захочу изменить область $E$, сказав, что $E=(1;50)$, я должен буду передоказать, что предел равен 16. Или же, если захочу принять $E=R$, то найти предел ещё раз :) Я верно понял?

-- Пн янв 08, 2018 14:27:23 --

Otta в сообщении #1282339 писал(а):
AlexeyM в сообщении #1282333 писал(а):
Я же имел в виду, что область X может быть совершенно различной, - а значит будут различаться и функции, путь даже они задаются одинаковым выражением. Такого понятия как "вся область определения" у Зорича, разумеется, нет.

Есть, Вы его процитировали еще раз. А обозначение по-прежнему так и не привели. Не может быть, чтобы его там не было, оно потом вовсю используется.


Вы имеете в виду область отправления функции? Этот термин в Зориче есть. Или иную формулировку? А то я начинаю малость теряться :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
См. теорему о единственности предела (надеюсь, Вы не меняете саму предельную точку в своем вопросе) и факт, что пересечение проколотых окрестностей -- снова проколотая окрестность

P.s. я стою на точке зрения Кудрявцева, если что

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
AlexeyM
Сейчас Вы смешали в одно обсуждение два разных определения предела функции. По определению Зорича, если Вы для одного и того же "закона отображения" будете менять область определения, то Вы каждый раз будете получать новую функцию и Вам действительно нужно будет доказывать заново существование предела и находить его (и не всегда результаты будут совпадать).

С определением Кудрявцева всё проще -- там результат всегда будет один и максимум, что Вам может потребоваться при изменении окрестности из определения -- выбрать другое $\delta_0$.

-- 08.01.2018, 13:32 --

AlexeyM в сообщении #1282340 писал(а):
Ок. Допустим, я рассмотрю функцию $f=x^2$, определённую на $E=(2;5)$ и покажу, что предел её при $x\to{4}$ равен 16. После этого, если я захочу изменить область $E$, сказав, что $E=(1;50)$, я должен буду передоказать, что предел равен 16. Или же, если захочу принять $E=R$, то найти предел ещё раз :) Я верно понял?
Вообще говоря, да. Другое дело, что для некоторых просто устроенных областей определения и для простых функций (вот как в рассматриваемом случае) Вы сможете найти закономерность и доказать, что предел всегда будет одним и тем же. Но в сложных случаях так не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
grizzly

(Оффтоп)

какое-то у Зорича неудобное определение с такой позиции

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(thething)

thething в сообщении #1282346 писал(а):
какое-то у Зорича неудобное определение с такой позиции
Смотря для каких целей :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):
Когда я писал про "всю область определения", то имел в виду множество $X\subseteq{R}$, для каждого элемента которого значение $f(x)$ определено.
Это понятие называется "естественной областью определения функции" и вводится для функций, заданных формулами (обычно — для элементарных функций). В более общем случае мы действительно должны сначала задать область определения $X$ и множество $Y$, в котором отображение будет иметь свои значения, а потом уже определять отображение $f\colon X\to Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1282349 писал(а):
отображение $f\colon X\to Y$.

О, ну наконец-то )) спасибо, Someone :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 13:54 


19/04/11
69
thething в сообщении #1282342 писал(а):
См. теорему о единственности предела (надеюсь, Вы не меняете саму предельную точку в своем вопросе) и факт, что пересечение проколотых окрестностей -- снова проколотая окрестность

P.s. я стою на точке зрения Кудрявцева, если что


Предельную точку я не меняю, - меняю только множество E. Мне определение Кудрявцева понятнее, так как если доказать предел для некоей проколотой окрестности $U_1(x_0)$, то для любой иной проколотой окрестности $U_2(x_0)$ можно рассмотреть окрестность $U_1(x_0)\cap{U_2(x_0)}$, тогда, по идее, предел будет тоже доказан. Мне это показалось несколько не совсем строгим рассуждением, поэтому и задал изначально вопрос по Кудрявцеву тоже.

А вот с Зоричем не совсем понимаю.

-- Пн янв 08, 2018 14:58:27 --

Someone в сообщении #1282349 писал(а):
AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):
Когда я писал про "всю область определения", то имел в виду множество $X\subseteq{R}$, для каждого элемента которого значение $f(x)$ определено.
Это понятие называется "естественной областью определения функции" и вводится для функций, заданных формулами (обычно — для элементарных функций). В более общем случае мы действительно должны сначала задать область определения $X$ и множество $Y$, в котором отображение будет иметь свои значения, а потом уже определять отображение $f\colon X\to Y$.


Спасибо за термин :) Верно ли, что Зорич в своём определении предела имеет в виду именно естественную область определения? Или же имеется в виду просто некое непустое подмножество этой естественной области?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 14:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17989
Москва
AlexeyM в сообщении #1282355 писал(а):
Верно ли, что Зорич в своём определении предела имеет в виду именно естественную область определения?
На мой взгляд, нет. Потому что вряд ли он хочет ограничиваться исключительно элементарными функциями, понимая, что в приложениях сплошь и рядом встречаются не только элементарные функции, а сама теория пределов применима к гораздо более широкому классу функций.

Фразу "пусть $f\colon E\to\mathbb R$ — вещественнозначная функция, определённая на множестве $E$" я однозначно понимаю как указание на то, что $E$ и есть область определения функции $f$. Формула "$f\colon E\to\mathbb R$" совершенно определённо на это указывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 14:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
AlexeyM в сообщении #1282355 писал(а):
Спасибо за термин :) Верно ли, что Зорич в своём определении предела имеет в виду именно естественную область определения? Или же имеется в виду просто некое непустое подмножество этой естественной области?

Нет. По Зоричу функция - это набор (множество-раз $X$, множество-2 $Y$, закон соответствия $f$).
Обозначение $f:X\to Y$ фиксирует, тем самым то, другое и третье однозначно. И потому, когда говорится, что $f:E\to\mathbb R$, область определения уже задана и равна $E$.

AlexeyM в сообщении #1282355 писал(а):
Предельную точку я не меняю, - меняю только множество E. Мне определение Кудрявцева понятнее, так как если доказать предел для некоей проколотой окрестности $U_1(x_0)$, то для любой иной проколотой окрестности $U_2(x_0)$ можно рассмотреть окрестность $U_1(x_0)\cap{U_2(x_0)}$, тогда, по идее, предел будет тоже доказан. Мне это показалось несколько не совсем строгим рассуждением, поэтому и задал изначально вопрос по Кудрявцеву тоже.

А вот с Зоричем не совсем понимаю.

А ничего не меняется.

Ну хорошо, пусть будет

Утверждение.

Пусть $E_1, E_2$ - множества и $a$ - предельная точка их пересечения.
Тогда $\lim\limits_{E_1\ni x\to a}f(x)= A$ если и только если $\lim\limits_{E_2\ni x\to a}f(x)= A$.

Доказывается, как утверждение из Кудрявцева с небольшими коррективами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 14:31 


19/04/11
69
Someone в сообщении #1282360 писал(а):
Фразу "пусть $f\colon E\to\mathbb R$ — вещественнозначная функция, определённая на множестве $E$" я однозначно понимаю как указание на то, что $E$ и есть область определения функции $f$. Формула "$f\colon E\to\mathbb R$" совершенно определённо на это указывает.


То есть Вы понимаете $E$ именно как область определения, вовсе не обязательно совпадающую с естественной, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение предела: множество определения функции
Сообщение08.01.2018, 14:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
AlexeyM
Извините меня. Я понимаю, что Вы не меня спрашиваете, и значит, мой ответ заведомо бесполезен. Но сколько раз и кто (включая Зорича уже дважды) должен написать в этой теме - "Да, верно", чтобы Вы или поверили, или привели весомые доводы против.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group