Определение предела: множество определения функции

[grizzly]

AlexeyM в сообщении #1282329 писал(а):

Вот об этом я и пишу :) Функции разные.

Ещё раз. Это у Вас функции разные. А в определении в учебнике заранее задана одна функция. И у неё указана область определения. Вот по этой области Вы и должны искать предел. Если Вы рассмотрите один и тот же "закон отображения", но с разными областями определения, то пределы в этих случаях могут оказаться разными. Или может оказаться, что для одной функции предел существует, а для другой (с тем же законом, но с другой областью определения) -- не существует.

[AlexeyM]

thething в сообщении #1282331 писал(а):

AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):

включающее в себя точку, в которой мы ищем предел?

Вот это неправильно, точка - она предельная, но не обязана лежать в области определения

Хорошо, переформулировать несложно: включающее в себя некую проколотую окрестность точки $x_0$. Суть-то вопроса от этого не изменится. Вот, поправил:

AlexeyM в сообщении #1282329 писал(а):

Функции разные. И получается, доказывать, что $\lim\limits_{x\to{x_0}}f(x)=A$ нужно будет заново: для каждого множества $E_i$, на котором определена функция $f(x)$ и которое включает в себя некую проколотую окрестность точки $x_0$.

[Otta]

AlexeyM в сообщении #1282333 писал(а):

Я же имел в виду, что область X может быть совершенно различной, - а значит будут различаться и функции, путь даже они задаются одинаковым выражением. Такого понятия как "вся область определения" у Зорича, разумеется, нет.

Есть, Вы его процитировали еще раз. А обозначение по-прежнему так и не привели. Не может быть, чтобы его там не было, оно потом вовсю используется.

[AlexeyM]

grizzly в сообщении #1282334 писал(а):

AlexeyM в сообщении #1282329 писал(а):

Вот об этом я и пишу :) Функции разные.

Ещё раз. Это у Вас функции разные. А в определении в учебнике заранее задана одна функция. И у неё указана область определения. Вот по этой области Вы и должны искать предел. Если Вы рассмотрите один и тот же "закон отображения", но с разными областями определения, то пределы в этих случаях могут оказаться разными. Или может оказаться, что для одной функции предел существует, а для другой (с тем же законом, но с другой областью определения) -- не существует.

Ок. Допустим, я рассмотрю функцию $f=x^2$, определённую на $E=(2;5)$ и покажу, что предел её при $x\to{4}$ равен 16. После этого, если я захочу изменить область $E$, сказав, что $E=(1;50)$, я должен буду передоказать, что предел равен 16. Или же, если захочу принять $E=R$, то найти предел ещё раз :) Я верно понял?

-- Пн янв 08, 2018 14:27:23 --

Otta в сообщении #1282339 писал(а):

AlexeyM в сообщении #1282333 писал(а):

Я же имел в виду, что область X может быть совершенно различной, - а значит будут различаться и функции, путь даже они задаются одинаковым выражением. Такого понятия как "вся область определения" у Зорича, разумеется, нет.

Есть, Вы его процитировали еще раз. А обозначение по-прежнему так и не привели. Не может быть, чтобы его там не было, оно потом вовсю используется.

Вы имеете в виду область отправления функции? Этот термин в Зориче есть. Или иную формулировку? А то я начинаю малость теряться :)

[thething]

См. теорему о единственности предела (надеюсь, Вы не меняете саму предельную точку в своем вопросе) и факт, что пересечение проколотых окрестностей -- снова проколотая окрестность

P.s. я стою на точке зрения Кудрявцева, если что

[grizzly]

AlexeyM
Сейчас Вы смешали в одно обсуждение два разных определения предела функции. По определению Зорича, если Вы для одного и того же "закона отображения" будете менять область определения, то Вы каждый раз будете получать новую функцию и Вам действительно нужно будет доказывать заново существование предела и находить его (и не всегда результаты будут совпадать).

С определением Кудрявцева всё проще -- там результат всегда будет один и максимум, что Вам может потребоваться при изменении окрестности из определения -- выбрать другое $\delta_0$.

-- 08.01.2018, 13:32 --

AlexeyM в сообщении #1282340 писал(а):

Ок. Допустим, я рассмотрю функцию $f=x^2$, определённую на $E=(2;5)$ и покажу, что предел её при $x\to{4}$ равен 16. После этого, если я захочу изменить область $E$, сказав, что $E=(1;50)$, я должен буду передоказать, что предел равен 16. Или же, если захочу принять $E=R$, то найти предел ещё раз :) Я верно понял?

Вообще говоря, да. Другое дело, что для некоторых просто устроенных областей определения и для простых функций (вот как в рассматриваемом случае) Вы сможете найти закономерность и доказать, что предел всегда будет одним и тем же. Но в сложных случаях так не будет.

[thething]

grizzly

(Оффтоп)

какое-то у Зорича неудобное определение с такой позиции

[grizzly]

(thething)

thething в сообщении #1282346 писал(а):

какое-то у Зорича неудобное определение с такой позиции

Смотря для каких целей

[Someone]

AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):

Когда я писал про "всю область определения", то имел в виду множество $X\subseteq{R}$, для каждого элемента которого значение $f(x)$ определено.

Это понятие называется "естественной областью определения функции" и вводится для функций, заданных формулами (обычно — для элементарных функций). В более общем случае мы действительно должны сначала задать область определения $X$ и множество $Y$, в котором отображение будет иметь свои значения, а потом уже определять отображение $f\colon X\to Y$.

[Otta]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1282349 писал(а):

отображение $f\colon X\to Y$.

О, ну наконец-то )) спасибо, Someone

[AlexeyM]

thething в сообщении #1282342 писал(а):

См. теорему о единственности предела (надеюсь, Вы не меняете саму предельную точку в своем вопросе) и факт, что пересечение проколотых окрестностей -- снова проколотая окрестность

P.s. я стою на точке зрения Кудрявцева, если что

Предельную точку я не меняю, - меняю только множество E. Мне определение Кудрявцева понятнее, так как если доказать предел для некоей проколотой окрестности $U_1(x_0)$, то для любой иной проколотой окрестности $U_2(x_0)$ можно рассмотреть окрестность $U_1(x_0)\cap{U_2(x_0)}$, тогда, по идее, предел будет тоже доказан. Мне это показалось несколько не совсем строгим рассуждением, поэтому и задал изначально вопрос по Кудрявцеву тоже.

А вот с Зоричем не совсем понимаю.

-- Пн янв 08, 2018 14:58:27 --

Someone в сообщении #1282349 писал(а):

AlexeyM в сообщении #1282327 писал(а):

Когда я писал про "всю область определения", то имел в виду множество $X\subseteq{R}$, для каждого элемента которого значение $f(x)$ определено.

Это понятие называется "естественной областью определения функции" и вводится для функций, заданных формулами (обычно — для элементарных функций). В более общем случае мы действительно должны сначала задать область определения $X$ и множество $Y$, в котором отображение будет иметь свои значения, а потом уже определять отображение $f\colon X\to Y$.

Спасибо за термин :) Верно ли, что Зорич в своём определении предела имеет в виду именно естественную область определения? Или же имеется в виду просто некое непустое подмножество этой естественной области?

[Someone]

AlexeyM в сообщении #1282355 писал(а):

Верно ли, что Зорич в своём определении предела имеет в виду именно естественную область определения?

На мой взгляд, нет. Потому что вряд ли он хочет ограничиваться исключительно элементарными функциями, понимая, что в приложениях сплошь и рядом встречаются не только элементарные функции, а сама теория пределов применима к гораздо более широкому классу функций.

Фразу "пусть $f\colon E\to\mathbb R$ — вещественнозначная функция, определённая на множестве $E$" я однозначно понимаю как указание на то, что $E$ и есть область определения функции $f$. Формула "$f\colon E\to\mathbb R$" совершенно определённо на это указывает.

[Otta]

AlexeyM в сообщении #1282355 писал(а):

Спасибо за термин :) Верно ли, что Зорич в своём определении предела имеет в виду именно естественную область определения? Или же имеется в виду просто некое непустое подмножество этой естественной области?

Нет. По Зоричу функция - это набор (множество-раз $X$, множество-2 $Y$, закон соответствия $f$).
Обозначение $f:X\to Y$ фиксирует, тем самым то, другое и третье однозначно. И потому, когда говорится, что $f:E\to\mathbb R$, область определения уже задана и равна $E$.

AlexeyM в сообщении #1282355 писал(а):

Предельную точку я не меняю, - меняю только множество E. Мне определение Кудрявцева понятнее, так как если доказать предел для некоей проколотой окрестности $U_1(x_0)$, то для любой иной проколотой окрестности $U_2(x_0)$ можно рассмотреть окрестность $U_1(x_0)\cap{U_2(x_0)}$, тогда, по идее, предел будет тоже доказан. Мне это показалось несколько не совсем строгим рассуждением, поэтому и задал изначально вопрос по Кудрявцеву тоже.

А вот с Зоричем не совсем понимаю.

А ничего не меняется.

Ну хорошо, пусть будет

Утверждение.

Пусть $E_1, E_2$ - множества и $a$ - предельная точка их пересечения.
Тогда $\lim\limits_{E_1\ni x\to a}f(x)= A$ если и только если $\lim\limits_{E_2\ni x\to a}f(x)= A$.

Доказывается, как утверждение из Кудрявцева с небольшими коррективами.

[AlexeyM]

Someone в сообщении #1282360 писал(а):

Фразу "пусть $f\colon E\to\mathbb R$ — вещественнозначная функция, определённая на множестве $E$" я однозначно понимаю как указание на то, что $E$ и есть область определения функции $f$. Формула "$f\colon E\to\mathbb R$" совершенно определённо на это указывает.

То есть Вы понимаете $E$ именно как область определения, вовсе не обязательно совпадающую с естественной, верно?

[Otta]

AlexeyM
Извините меня. Я понимаю, что Вы не меня спрашиваете, и значит, мой ответ заведомо бесполезен. Но сколько раз и кто (включая Зорича уже дважды) должен написать в этой теме - "Да, верно", чтобы Вы или поверили, или привели весомые доводы против.