2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Квантовое Поле Клейна-Гордона с классическим источником.
Сообщение07.01.2018, 17:17 


16/12/14
472
Добрый день. В процессе решения нижеизложенной задачи возникли трудности. Сама задача взята из учебника Пескина Шредера, глава 4, задача 4.1. Поскольку данная книга оказалась для меня на данный момент основной в силу моих личных предпочтений, то соответственно решать данную задачу предполагается методами, изложенными в предыдущих главах.

Постановка задачи:
Рассматривается квантовое поле, гамильтониан которого записывается в следующем виде:
$H = H_0 + \int d^3 x j(x,t) \phi(x)$, где скалярное поле $j(x,t)$ отлично от нуля лишь в некоторой области пространства времени, а $H_0$ - обычный гамильтониан для поля Клейна-Гордона. Как и обычно нас просят проделать некоторое количество упражнений:

a) Показать, что вероятность того, что в итоге действия источника $j$ будет рождено 0 частиц задается формулой:
$P(0)  = (\right\rvert\left\langle 0 \left\lvert T exp [ -i \int d^4 x j(x) \phi_I (x)] \right\rvert 0\right\rangle)^2$
$phi_I (x)$ - поле в представлении взаимодействия, то есть поле которое во времени меняется как будто-то бы наш гамильтониан описывает свободное поле и никого классического источника нет. Для того, чтобы доказать выписанную выше формулу нужно попусту ввести оператор временной эволюции:
$U(t, t_0) = e^{iH_0(t-t_0}e^{-iH(t-t_0)}$, который описывает эволюцию поля в представлении взаимодействия, с помощью стандартных вычислений использующих тот факт, что данный оператор является решение уравнения Шредингера (кто бы сомневался):
$i \frac{\partial U}{\partial t} = H_I U$, где $H_I = H - H_0$
Решением этого уравнения будет хронологически упорядоченная экспонента:
$U(t, t_0) = T {exp [-iH_I t]}$
Собственно, теперь довольно очевидно что амплитуда искомой вероятность задается простым выражением:
$\right\rvert\left\langle 0 \left\lvert T exp [ -i H_I t] \right\rvert 0\right\rangle$, которое с точностью до обозначений совпадает с тем, что нам нужно было найти. Интегрирование выполняется во всему пространству времени так как нужно собрать все точки где источник был активен, а зоны где он был выключен все равно дадут нуль.

Вообще хотелось бы немного обсудить смысл проделанной выше операции, по сути своей мы взяли эволюцию поля без всякого взаимодействия, а потом докрутили ее с помощью гамильтониана взаимодействия оператором эволюции. Экспонента в этом контексте единственное обоснованное априорное предположения, так как именно экспонента задает оператор сдвига так сказать. По сути смысл этой процедуры в том, что мы пытаемся сдвинуть невозмущенное решение в сторону того, что было бы при честном решении всех уравнений.



2. По теории возмущений вычислить слагаемое порядка $j^2$ и показать, что формула для вероятности из первого пункта будет записываться так:
$P(0) = 1 - \lambda + O(j^4)$, $\lambda = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{2 E_p}\left\lvert j(p) \right\rvert^2$, где под знаком интеграла стоит фурье образ источника частиц.

С этим возникло больше трудностей, однако давайте все же попробуем для начала расписать амплитуду вероятности, разложив экспоненту до квадратичного члена:
$\right\rvert\left\langle 0 \left\lvert T exp [ -i H_I t] \right\rvert 0\right\rangle = \right\rvert\left\langle 0 \left\lvert 1 - i (\int d^4 x j(x) \phi(x)) - \frac{(-i)^2}{2} T [\int d^4 x d^4 y j(x)]\phi(x) j(y)\phi(y)] \right\rvert 0\right\rangle$
Линейное слагаемое очевидно обнуляется, так как при разложении поля по операторам рождения смерти: часть с операторами смерти уничтожить вакуум справа, а часть с операторами рождения - уничтожит вакуум слева, в итоге будет нуль. Это частный случай теоремы Вика, если применить ее - то сразу получим, что нас интересуют лишь слагаемые в четных степенях.
А вот с вычислением квадратичного слагаемого возникли проблемы - я совершенно не понимаю, что надо делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовое Поле Клейна-Гордона с классическим источником.
Сообщение07.01.2018, 22:40 
Заслуженный участник


21/08/10
2401
Pulseofmalstrem в сообщении #1282038 писал(а):
А вот с вычислением квадратичного слагаемого возникли проблемы - я совершенно не понимаю, что надо делать.



Довольно странно, что зная теорему Вика это у Вас вызывает затруднения. Ну да ладно, все просто. Во-первых разбиваем область интегрирования на две части: в одной время в $\phi$ больше времени в другой, в другой --- наоборот. Интеграл по всей области, очевидно, равен сумме интегралов по подобластям. Во-вторых выражаем $\phi$ через операторы рождения/уничтожения. В третьих, коммутируем эти операторы до тех пор, пока какой-нибудь оператор уничтожения подействует на вакуум справа (или наоборот рождения на вакуум слева). Соответствующие слагаемые обнуляются. В итоге все выражается через коммутаторы, которые, как известно, просто числа. Наконец берем интегралы с этими числами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовое Поле Клейна-Гордона с классическим источником.
Сообщение08.01.2018, 09:19 
Заслуженный участник


29/12/14
504
По первому пункту советую почитать про формулу Дайсона в любой книге по КТП. По второму пункту: источники здесь классические - что это для Т-произведения значит? После этого все совсем тривиально становится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group