Квантовое Поле Клейна-Гордона с классическим источником.

[Pulseofmalstrem]

Добрый день. В процессе решения нижеизложенной задачи возникли трудности. Сама задача взята из учебника Пескина Шредера, глава 4, задача 4.1. Поскольку данная книга оказалась для меня на данный момент основной в силу моих личных предпочтений, то соответственно решать данную задачу предполагается методами, изложенными в предыдущих главах.

Постановка задачи:
Рассматривается квантовое поле, гамильтониан которого записывается в следующем виде:
$H = H_0 + \int d^3 x j(x,t) \phi(x)$, где скалярное поле $j(x,t)$ отлично от нуля лишь в некоторой области пространства времени, а $H_0$ - обычный гамильтониан для поля Клейна-Гордона. Как и обычно нас просят проделать некоторое количество упражнений:

a) Показать, что вероятность того, что в итоге действия источника $j$ будет рождено 0 частиц задается формулой:
$P(0) = (\right\rvert\left\langle 0 \left\lvert T exp [ -i \int d^4 x j(x) \phi_I (x)] \right\rvert 0\right\rangle)^2$
$phi_I (x)$ - поле в представлении взаимодействия, то есть поле которое во времени меняется как будто-то бы наш гамильтониан описывает свободное поле и никого классического источника нет. Для того, чтобы доказать выписанную выше формулу нужно попусту ввести оператор временной эволюции:
$U(t, t_0) = e^{iH_0(t-t_0}e^{-iH(t-t_0)}$, который описывает эволюцию поля в представлении взаимодействия, с помощью стандартных вычислений использующих тот факт, что данный оператор является решение уравнения Шредингера (кто бы сомневался):
$i \frac{\partial U}{\partial t} = H_I U$, где $H_I = H - H_0$
Решением этого уравнения будет хронологически упорядоченная экспонента:
$U(t, t_0) = T {exp [-iH_I t]}$
Собственно, теперь довольно очевидно что амплитуда искомой вероятность задается простым выражением:
$\right\rvert\left\langle 0 \left\lvert T exp [ -i H_I t] \right\rvert 0\right\rangle$, которое с точностью до обозначений совпадает с тем, что нам нужно было найти. Интегрирование выполняется во всему пространству времени так как нужно собрать все точки где источник был активен, а зоны где он был выключен все равно дадут нуль.

Вообще хотелось бы немного обсудить смысл проделанной выше операции, по сути своей мы взяли эволюцию поля без всякого взаимодействия, а потом докрутили ее с помощью гамильтониана взаимодействия оператором эволюции. Экспонента в этом контексте единственное обоснованное априорное предположения, так как именно экспонента задает оператор сдвига так сказать. По сути смысл этой процедуры в том, что мы пытаемся сдвинуть невозмущенное решение в сторону того, что было бы при честном решении всех уравнений.



2. По теории возмущений вычислить слагаемое порядка $j^2$ и показать, что формула для вероятности из первого пункта будет записываться так:
$P(0) = 1 - \lambda + O(j^4)$, $\lambda = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3} \frac{1}{2 E_p}\left\lvert j(p) \right\rvert^2$, где под знаком интеграла стоит фурье образ источника частиц.

С этим возникло больше трудностей, однако давайте все же попробуем для начала расписать амплитуду вероятности, разложив экспоненту до квадратичного члена:
$\right\rvert\left\langle 0 \left\lvert T exp [ -i H_I t] \right\rvert 0\right\rangle = \right\rvert\left\langle 0 \left\lvert 1 - i (\int d^4 x j(x) \phi(x)) - \frac{(-i)^2}{2} T [\int d^4 x d^4 y j(x)]\phi(x) j(y)\phi(y)] \right\rvert 0\right\rangle$
Линейное слагаемое очевидно обнуляется, так как при разложении поля по операторам рождения смерти: часть с операторами смерти уничтожить вакуум справа, а часть с операторами рождения - уничтожит вакуум слева, в итоге будет нуль. Это частный случай теоремы Вика, если применить ее - то сразу получим, что нас интересуют лишь слагаемые в четных степенях.
А вот с вычислением квадратичного слагаемого возникли проблемы - я совершенно не понимаю, что надо делать.

[Alex-Yu]

Pulseofmalstrem в сообщении #1282038 писал(а):

А вот с вычислением квадратичного слагаемого возникли проблемы - я совершенно не понимаю, что надо делать.

Довольно странно, что зная теорему Вика это у Вас вызывает затруднения. Ну да ладно, все просто. Во-первых разбиваем область интегрирования на две части: в одной время в $\phi$ больше времени в другой, в другой --- наоборот. Интеграл по всей области, очевидно, равен сумме интегралов по подобластям. Во-вторых выражаем $\phi$ через операторы рождения/уничтожения. В третьих, коммутируем эти операторы до тех пор, пока какой-нибудь оператор уничтожения подействует на вакуум справа (или наоборот рождения на вакуум слева). Соответствующие слагаемые обнуляются. В итоге все выражается через коммутаторы, которые, как известно, просто числа. Наконец берем интегралы с этими числами.

[Gickle]

По первому пункту советую почитать про формулу Дайсона в любой книге по КТП. По второму пункту: источники здесь классические - что это для Т-произведения значит? После этого все совсем тривиально становится.