2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рациональная кубика с параметром
Сообщение20.12.2017, 16:25 


16/08/05
902
Для уравнения в рациональных числах

$y^2=x^3+3 k (k^2+3 k+3) x^2+3 k^2 (k^2+3 k+3)^2 x$

где $k$ - рациональный параметр

найдите три параметрических решения

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная кубика с параметром
Сообщение21.12.2017, 13:19 
Заслуженный участник


17/09/10
1798
1. $x=3(k^2+3k+3), y=3(k^2+3k+3)^2$
2. $x=\dfrac{(k+1)^4}{4}-(k+1)^3+2(k+1)+1, y=-\dfrac{(k+1)^6}{8}+\dfrac{5(k+1)^3}{2}+1$
3. Третье по причине громоздкости не выписываю.
Если первое соответствует рациональной точке Р, то второе точке 2Р, а третье 3Р, ну и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная кубика с параметром
Сообщение21.12.2017, 14:06 


16/08/05
902
Второе соответствует $x=\dfrac{(k^2-3)^2}{4}$.

А вот третье, которое я нашел, $x=k^2(k^2+3k+3)$. Оно какой мультиплицированной точке соответствует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная кубика с параметром
Сообщение21.12.2017, 18:28 
Заслуженный участник


17/09/10
1798
Могу сказать определенно, что если ваше третье соответствует точке $Q$, то ваше второе соответствует $2Q$. а также $Q=P+(0,0)$, где $P$ - точка из моего сообщения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная кубика с параметром
Сообщение06.01.2018, 19:52 
Заслуженный участник


17/09/10
1798
Вот ещё одно негромоздкое значение $x=\dfrac{12k^2(k^2+3k+3)^2}{(k^2-3)^2}$. Получается при сложении $2P+(0,0)$ или $2Q+(0,0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рациональная кубика с параметром
Сообщение06.01.2018, 22:46 


16/08/05
902
Исходно в этой задаче я искал целую точку, абсцисса которой делилась бы на $k^2(k^2+3k+3)$. Существует несколько таких точек при конкретных $k$, самая крупная из которых $k=1172$, $x=94017k^2(k^2+3k+3)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group