Рациональная кубика с параметром

[dmd]

Для уравнения в рациональных числах

$y^2=x^3+3 k (k^2+3 k+3) x^2+3 k^2 (k^2+3 k+3)^2 x$

где $k$ - рациональный параметр

найдите три параметрических решения

[scwec]

1. $x=3(k^2+3k+3), y=3(k^2+3k+3)^2$
2. $x=\dfrac{(k+1)^4}{4}-(k+1)^3+2(k+1)+1, y=-\dfrac{(k+1)^6}{8}+\dfrac{5(k+1)^3}{2}+1$
3. Третье по причине громоздкости не выписываю.
Если первое соответствует рациональной точке Р, то второе точке 2Р, а третье 3Р, ну и так далее.

[dmd]

Второе соответствует $x=\dfrac{(k^2-3)^2}{4}$.

А вот третье, которое я нашел, $x=k^2(k^2+3k+3)$. Оно какой мультиплицированной точке соответствует?

[scwec]

Могу сказать определенно, что если ваше третье соответствует точке $Q$, то ваше второе соответствует $2Q$. а также $Q=P+(0,0)$, где $P$ - точка из моего сообщения.

[scwec]

Вот ещё одно негромоздкое значение $x=\dfrac{12k^2(k^2+3k+3)^2}{(k^2-3)^2}$. Получается при сложении $2P+(0,0)$ или $2Q+(0,0)$.

[dmd]

Исходно в этой задаче я искал целую точку, абсцисса которой делилась бы на $k^2(k^2+3k+3)$. Существует несколько таких точек при конкретных $k$, самая крупная из которых $k=1172$, $x=94017k^2(k^2+3k+3)$.