Не знаю как для Вас, но для меня внешняя мера неотрицательна, поэтому такие записи
для меня выглядят странно.
Ваши теоремы 4 и 5 несомненно верны (по крайней мере формулировки), но бесполезны. Дело вот в чем. Из определения внешней меры Лебега (может у Вас другое, не знаю) и определения измеримых по Лебегу множеств (как хорошо разбивающих,

-измеримых) следует, что множества внешней меры нуль измеримы по Лебегу и Борелевские множества измеримы по Лебегу. Далее из утверждения
для каждого

существует открытое множество

, включающее

и такое, что

можно взять открытые множества

соответствующие

и пересечь их --- получится некоторое

-множество

(в частности, оно Борелевское), при этом

--- разность Борелевского множества и множества меры нуль. Отсюда измеримость

очевидна. Итак, следствие (а на самом деле это равносильное утверждение) теоремы 2 есть то, что измеримые по Лебегу подмножества и только они с точностью до множества внешней меры нуль являются множествами типа

.
Чтобы доказать гипотезу 1 вернемся к доказательству нулевой теоремы. Если

- измеримо по Лебегу, то по определению (

хорошо разбивает любое подмножество прямой, в частности

)

Смотря на это равенство в условиях нулевой теоремы, ее заключение становится очевидным. Теперь вопрос, какое равенство нужно рассмотреть, чтобы доказать гипотезу 1?