Задачи, в которых не ничего не дано

[Mathew Rogan]

В физике встречаются задачи, в которых не даны никакие числовые данные, но ответ нужно дать вполне конкретным числом. Такие задачи, как правило, очень красивы и используют некую симметрию системы.

(Оффтоп)

К этому типу не относятся задачи, где числовые данные даны неявно (например, табличные значения плотностей, теплоёмкостей и т.п.) и задачи-оценки (в них данные надо разумно выбрать самим).

Некоторые примеры (самые банальные):
1. Под каким углом к горизонту необходимо бросить тело, чтобы дальность полёта была максимальной?
2. Математический маятник колеблется с некоторой амплитудой. Известно, что его ускорение в точке максимального отклонения по модулю равно ускорению в нижней точке траектории. С какой амплитудой колеблется маятник?
3. На земле вплотную друг к другу лежат два одинаковых бревна цилиндрической формы. Сверху на них кладут такое же бревно. При каких минимальных условиях брёвна не раскатятся?

Предлагаю в этой теме собрать разные задачи такого типа. Мне кажется, будет интересно.

[fred1996]

В школе помню, меня поразила задачка:
Известно, что время прохождения света от Солнца до Земли равно 500 секунд.
Найти массу Солнца. Тогда мне это показалось из серии По улице идет рота солдат. Какой возраст моей бабушки.
Ну а вообще-то хоть такие задачки и прикольные, но на олимпиадность не тянут. С другой стороны в ПРР их вроде тоже не засунешь.

[Mathew Rogan]

fred1996 в сообщении #1281336 писал(а):

В школе помню, меня поразила задачка:
Ну а вообще-то хоть такие задачки и прикольные, но на олимпиадность не тянут.

Некоторые вполне себе тянут. Взять, к примеру, такую:
Санки скатываются с крутой вогнутой горы, которая представляет собой дугу в четверть окружности. При каком максимальном коэффициенте трения санки смогут доехать до подножия горы?
В своё время получил большое удовольствие от решения этой задачи.

[fred1996]

Mathew Rogan
Не спорю, данная задачка тянет на олимпиадную.
У меня сейчас получилось, что к-т трения должен удовлетворять уравнению
$\frac{1-2\mu^2}{3\mu}=\exp(-\mu)$
Может где и наврал, но задачка действительно прикольная. Требует некоторого опыта обращения с переменными. Идея та же, что и при выводе траектории эллиптических орбит.
Нужно во время избавиться от временной зависимости.

[Pphantom]

pcyanide в сообщении #1281612 писал(а):

Вот несколько задач академика П. Л. Капицы.

Тут нужны некоторые представления о действительности, которые в условии не указаны, но которые должны иметься у решающего, а это уже немного другой жанр, хотя тоже забавный.

Внесу в копилку ради неоффтопика еще одну задачку:
Вспомните, как выглядит Сатурн.

(Кто совсем забыл, можно посмотреть, например, тут)

Оцените период обращения частиц на внешнем краю кольца вокруг Сатурна.

[fred1996]

fred1996 в сообщении #1281524 писал(а):

Mathew Rogan
Не спорю, данная задачка тянет на олимпиадную.
У меня сейчас получилось, что к-т трения должен удовлетворять уравнению
$\frac{1-2\mu^2}{3\mu}=\exp(-\mu)$
Может где и наврал, но задачка действительно прикольная. Требует некоторого опыта обращения с переменными. Идея та же, что и при выводе траектории эллиптических орбит.
Нужно во время избавиться от временной зависимости.

Очевидно наврал.
Уравнение выглядит так:
$\frac{1-2\mu^2}{3\mu}=\exp(-\pi\mu)$

Мне эта задачка знакома в другом варианте.
Санки съезжают с горки с некоторой высоты и въезжают во внутренность вертикальной окружности с к-том трения $\mu$. Определить, угол, когда они оторвутся от поверхности.
Решение задачи - это точка пересечения некоторой синусоиды с некоторой затухающей экспонентой. Но решается точно так же как и предложенная задача.

[Mathew Rogan]

fred1996 в сообщении #1281620 писал(а):

Уравнение выглядит так:
$\frac{1-2\mu^2}{3\mu}=\exp(-\pi\mu)$

Да, ответ совершенно верный, из этого уравнения $\mu = 0.603$.

Ещё нравится вот такая задачка:
Тело бросают под некоторым углом к горизонту. При каком угле бросания путь, пройденный телом за всё время движения, будет максимальным?

[fred1996]

Mathew Rogan
Примерно из той же серии: при каком угле бросания очерченная парабола покроет максимальную площадь. Или. При каком минимальном угле бросания расстояние тела от точки бросания не убывает. Очевидно, что при малых углах расстояние все время растет, а при больших тело вернется близко к точке бросания.

[Mathew Rogan]

fred1996 в сообщении #1281642 писал(а):

При каком минимальном угле бросания расстояние тела от точки бросания не убывает. Очевидно, что при малых углах расстояние все время растет, а при больших тело вернется близко к точке бросания.

Спасибо, отличная задача! Если не ошибаюсь, $\sin \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$

[Mathew Rogan]

fred1996 в сообщении #1281642 писал(а):

Примерно из той же серии: при каком угле бросания очерченная парабола покроет максимальную площадь.

А здесь 60°.

[sinx]

Ну такое себе, я 10 классник, решил первую задачу за 5 минут..
Сначала находим уравнения с помощью проекций.
$S_x(t) = v_0\cos\alpha$
$S_y(t) = v_0\sin\alpha - \frac{gt^2}{2}$
Далее берем производную проекции перемещения на ось $y$
$\frac{dS_y}{dt} = v_0\sin\alpha -gt$
Чтобы найти $t$ полёта, приравняем к нулю и полученный корень умножим на 2, ведь это время полёта к максимальной точке по $y$
$t_\pi = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$
Подставляем это значения в $S_x(t)$
$S_x(t_\pi) = \frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$
Запишем это как функцию $L(\alpha)$
$L(\alpha)=\frac{2v_0^2\sin\alpha}{g}$
Чтобы найти максимум функции, берём производную..
$L'(\alpha) = \frac{2v_0^2\cos2\alpha}{g}$
И приравняем к нулю, найдем полученный $\alpha$
$\frac{2v_0^2\sin\alpha}{g}=0$

$2v_0^2\cos2\alpha = 0$

$\cos2\alpha = 0$

$2\alpha = \frac{\pi}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{4}$

Ну или 45 градусов))

[miflin]

sinx в сообщении #1359629 писал(а):

берём производную

А попробуйте проще и короче без производных.

[sinx]

miflin в сообщении #1359638 писал(а):

А попробуйте проще и короче без производных.

Из здравого смысла чтоль? Типа если слишком маленький угол, то дальность тоже, а если стремится к 90, то вообще не очень получается.. вот 45 градусов золотая середина

[miflin]

sinx в сообщении #1359640 писал(а):

Из здравого смысла чтоль?

Нет, абсолютно строго.

-- 07.12.2018, 21:39 --

Пардон! Из здравого, конечно, но не теми рассуждениями, что Вы привели (там здравого смысла нет).

[sinx]

miflin в сообщении #1359642 писал(а):

Пардон! Из здравого, конечно, но не теми рассуждениями, что Вы привели (там здравого смысла нет).

А если это так доказать, вывести функцию $L(\alpha)=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}$
Предположим, что $\exists \ \alpha, L(\alpha) > L(\frac{\pi}{4})$
Тогда:
$\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g} > \frac{v_0^2}{g}$
$\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g} - \frac{v_0^2}{g} > 0$
$\frac{v_0^2\sin2\alpha-v_0^2}{g}>0$
$v_0^2 (\sin2\alpha - 1) > 0$
$\sin2\alpha - 1 > 0$
$\sin2\alpha > 1$
Получили противоречие, синус не может быть больше 1.