Будет ли функция локально ограничена такими значениями?

[Taviz]

В целях понимания материала задался вопросом: будут ли значения $\alpha = -4$ и $\beta = 4$ локально ограничивать функцию в точке $x_0=0$ ?

$$ f(x)=\begin{cases} 1,&\text{если $x<0$;}\\ -10,&\text{если $x=0$;}\\ -1,&\text{если $x>0$;}\\ \end{cases} $$

Если нет, то какие? Если следовать определению, то нас должна настораживать только выколотая окрестность точки $x_0=0$, и действительно получается что функция может быть ограничена такими значениями, но меня очень настораживает$f(0) = -10$

[Xaositect]

А откуда определение? По-моему, в определении локальной ограниченности берут обычную окрестность, а не выколотую.

[Taviz]

Из конспектов, которые выслал преподаватель. Видимо опечатка

[Taviz]

Xaositect

И все же там берут проколотую окрестность
http://studopedia.org/8-160160.html
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node16.html (здесь тогда не стали бы брать значения из расширенной числовой прямой - нет смысла)

[ewert]

Это стилистика. Конечно, разумнее вводить локальную ограниченность через непроколотую окрестность (поскольку центр проколотой не входит в область определения, иначе это не интересно). Но -- кому-то свиной хрящик слаще арбуза. И наоборот.

Да, я вчитался-таки в цитаты. Насколько я понял, в них вообще нет понятия "локально ограниченной функции" (что вполне разумно). Есть лишь лирический комментарий к теореме, содержащий это словосочетание (как положено, в скобках к формулировке). Но лирический комментарий не есть определение.

Другое дело, что вносить лирические комментарии в список экзаменационных вопросов без расшифровки -- не есть хорошо. Ну, глюки у всех случаются; не возьмусь швыряться камнями во избежание.