Комплексные числа в школе

[Metford]

arseniiv в сообщении #1275912 писал(а):

Там ещё куча всяких непонятных длинных уравнений

Собственно, я это и имел в виду, говоря, что тригонометрии в школе многовато. Там увлекаются преобразованиями, упрощающими уравнение. Может быть, хотят, чтобы люди набили себе руку и другие части тела.

arseniiv в сообщении #1275912 писал(а):

а мнемонику для формул приведения и других полезных вещей при этом никто не приводит

У нас были два обычных правила для построения формул приведения - то есть не по формулам сложения. По принципу: меняется ли функция и какой знак по четверти. Причём эти правила были прямо в учебнике прописаны - это не изобретение нашего учителя (который был такой, которого каждому можно пожелать).

arseniiv в сообщении #1275912 писал(а):

Но если убрать длинные уравнения, ЕГЭ, говорят, будет нечем заполнять. (Хотя это всё слухи, меня там давно не было, не имею понятия.)

Слухи Для ЕГЭ стандартное тригонометрическое уравнение - уравнение типа

$$a\sin^2x+b\sin x+c=0$$

с выборкой корней. Обычно имеет два семейства корней, одно из которых выражается через обратную тригонометрическую функцию, не содержащуюся в таблице (типа $\arctg\frac{1}{3}$). У нас каждый двоечник такое умел делать. В ЕГЭ извращаются не на основе тригонометрии.

[arseniiv]

Metford в сообщении #1275957 писал(а):

У нас были два обычных правила для построения формул приведения - то есть не по формулам сложения. По принципу: меняется ли функция и какой знак по четверти. Причём эти правила были прямо в учебнике прописаны

Ну, это так себе мнемоника. Когда я додумался (слава Диэдру, всё же в школе, в отличие от других прекрасных и распространённых идей, до которых додуматься вовремя не успел) представлять график и его сдвиг, оказалось, что больше ничего запомниать не придётся. Ещё, правда, можно представлять единичную окружность с осями и повороты всего этого, но мне сгодились и графики.

-- Вт дек 19, 2017 00:08:26 --

С помощью графика можно и понижением степени квадрата косинуса/синуса разобраться (какие там коэффициенты будут).

[pcyanide]

SomePupil в сообщении #1275319 писал(а):

Неделя до сессии $-$ вот настоящий мостик к линейной алгебре.

Как Вам такой расклад: возложить общественные амбиции на алтарь здравомыслия и позволить детям спокойно натаскиваться на ЕГЭ, без формул Эйлера и Муавра. У них итак там все расписано: С1, С2, С3... и эта система исправно работает. В этом случае разумно придерживаться главного принципа врачей, закончивших бакалавриат, $-$ "не навреди".

Подход, который, откровенно говоря, меня возмущает больше всего. Именно поэтому я в свое время отказался от возможности преподавания математики, и жалею вовсе не об этом, а о том, что не имею возможности преподавать этот предмет в такой стране, как Россия, не идущей на поводу у «сильных стран мира сего».

То и дело можно прочесть в западных руководствах: «Нельзя ранить шестиклассника или семиклассника сложными вещами (такими, как, например доказательство теоремы Пифагора), так как в этом возрасте можно навредить.» Вот и талдычат одно и то же в циклическом повторении, пока в 10-м классе (при 12-годичном обучении) не наступает аврал, когда дается огромное количество информации (тем, кто выбрал соответствующий предмет в качестве selectives), как правило без доказательств, выхолащивая весь предмет до неузнаваемости. Это все равно что изучать русскую классику по учебнику литературы, не читая самих произведений (уверен, что многие так и делают). Я знал одного преподавателя математики, который был уверен, что теорема Пифагора недоказуема!

«Спокойно натаскиваться?» А как в этом заинтересовать, когда велик соблазн поддерживать глупые беседы в соцсетях? Надо привить любовь к математике с ранних классов, демонстрируя всю ее красоту, чтобы ученики не задавались вопросом «Зачем мне это надо?» (вот еще один западный поход: надо изучать математику, так как она нужна в работе и в бизнесе), а чтобы это исходило из внутренней потребности к познанию вообще и в математике в частности.

Да, не все испытывают потребность познания и забудут все начисто через полгода после окончания школы или ВУЗ-а. Но зачем талантливые люди должны от этого страдать? Надо делать все возможное, чтобы «показать товар лицом», а если кто-то это не оценит, пусть пеняет на себя!

[SomePupil]

Ма-аркс и Энгельс!
Какие красивые слова!

[Ndr4]

А мб им не нравится математика в целом только лишь из-за того, что они ее не понимают? У них просто отсутствуют элемеентарные инструменты познания и пространственно-представительный материал.

Вообще, у меня есть отличная теория по поводу того, как формировать знания в целом. Сначала необходимо подготовить почву, как бы ячейки для информации. Пробежаться по многим темам, но не вникаясь в сложности. Что-то вроде научпоп фильмов, но только от завлекающего преподавателя. Красочные примеры сменяются принципом мышления оратора, его собственными мыслями и идеями на данные темы. Если все сделать правильно, то дети должны задуматься над окружающим миром, у них должны сформироваться вопросы, на которые им будет так и не терпеться найти ответы.

Далее следует отталкиваться от того, что сталкиваясь с чем-то непонятным, человек испытывает боль на психофизическом уровне. Это и отталкивает многих от сложных предметов. Но почему они сложные? Да потому что непонятные. У них нет еще ни малейшего представления о том, что кроется за самим буквами, цифрами, слогами в терминах. Они порой не могут представить себе в голове то, что написано в учебниках. Это и является основной проблемой.

Поэтому первые этапы в обучении должны всегда начинаться с основ самих основ. В которых важно следить за тем, насколько хорошо дети понимают то, о чем идет речь. В голове должна быть построена мини-лаборатория с исчерпывающим набором инструментов и ассоциаций. Мозг должен быть похож не на губку, тупо впитывающую информацию, а на небольшой организм, пожирающий и ассимилирующий окружающее, он должен обладать голодом к познанию. Каждая новая порция структурирует этот внутренний механизм и преобразует инструменты.

Рост должен сопровождаться бурным развитием когнитивных способностей, обретением все новых и новых инструментов и проведением тысячи ассоциаций между ними. Я считаю, что само обучение должно быть ориентированно на будущее самообучение, ибо в этом состоит весь смысл жизни по большей части.

Любые знания должны чувствоваться на физическом уровне, чтоб их использование было на уровне прогулки по парку.

Воот ._.

[Pulseofmalstrem]

Ndr4
Далеко не все знания можно чувствовать на физическом уровне, порой приходится долгое время бродить пустыням полной абстракции до тех пор, пока, наконец, не сможешь осознать все уже на новом уровне.

[Ndr4]

Pulseofmalstrem в сообщении #1281435 писал(а):

Ndr4
Далеко не все знания можно чувствовать на физическом уровне, порой приходится долгое время бродить пустыням полной абстракции до тех пор, пока, наконец, не сможешь осознать все уже на новом уровне.

согласен, но мне просто неприятно часто от бесполезных заучиваний каких-либо вещей. В основном это связано с неправильно написанными учебниками, где информация превращается в неструктурированную прозу без четко поставленных вопросов "что, для чего, почему и как".

Самое обидное, я ведь знаю, что вся эта информация потом мне сильно понадобиться для обьяснения каких-либо явлений, пусть даже она сейчас и выглядит сухой. Но, блин, удовольствия, а соответственно и подкрепления(значит и продуктивного запоминания), никакого от данных действий.

[Pulseofmalstrem]

Ndr4
Ну, все зависит от конкретного предмета и стиля изложения, а также от восприятия отдельного ученика. Взять те же комплексные числа: их очень просто ввести, просто запостулировав операции, однако тогда они выглядят искусственно. Можно ввести некий элемент $i$ и попробовать построить алгебру с ним, однако от этого мнимая единица менее мнимой в умах не станет - напротив все это весьма туманно. И только после подробного изучения алгебры, понятий изоморфизма и теории расширений полей можно понять смысл комплексных чисел. Ясно что сразу ни в одном курсе нельзя их ввести так, чтобы все все поняли. Придется заучить действия над комплексными числами, а откуда они берутся - поймешь позже.

[metelev]

Pulseofmalstrem в сообщении #1281477 писал(а):

И только после подробного изучения алгебры, понятий изоморфизма и теории расширений полей можно понять смысл комплексных чисел.

Смысл комплексных чисел я понял, прочитав книжку Арнольда "Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов". Потом ещё почитал работы первооткрывателей . Потом у меня был какое-то время опыт преподавания факультатива в школе. Не слишком удачный. Я-то думал, что надо только как следует всё объяснить. Оказалось, что всё упирается в социальные моменты, умение "построить", грубо говоря.

Но вот как раз про комплексные числа я однажды рассказывал на "летнем лагере" и мне показалось, что это было хорошо. Там было несколько классов, примерно 5-6, 7-8, 9-10. Рассказывал я всем одно и то же. Это было уже лето, они уже на каникулах были и приходили просто послушать, что им интересненького скажут. Вот самым младшим было интереснее всего. Посреди моей речи у меня попросили бумагу и карандаши, чтобы записывать. Такой педагогический успех, случившийся у меня раз в жизни. Следующему возрасту уже было меньше интересно, самым старшим вообще было не до меня. Такое у меня было впечатление.

Чтобы понимать, что такое комплексные числа, достаточно вникнуть в один-единственный удивительный факт. Что геометрическая операция --- перемножение длин и сложение углов, даёт ровно тот же самый результат, что операция алгебраическая, раскрытие скобок $(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)$. Всё остальное --- выводы, которые из этого получаются. Сам подход у первооткрывателей получался так: домножение на $-1$ трактовалось как поворот на $180$ градусов. Тогда умножение на $\sqrt{-1}$ можно трактовать как поворот на 90 градусов и ещё одно такое же умножение как ещё один поворот на 90 градусов. Одна из версий новых чисел была с четыремя единицами, в каждом направлении своя единица (в направлении $1$, в направлении $i$, в направлении $-1$ и в направлении $-i$). Сейчас уже подзабыл.

Если про свои школьные годы вспоминать, формально основные факты я знал, но единой картины не было в голове. Откуда она берётся, эта единая картина, вот вопрос вопросов. Всегда есть опасность, что новые знания так и останутся набором разрозненных фактов. В виде набора правил в школе не нужно специально о комплексных числах рассказывать. Но основное, связь алгебраической и геометрической интерпретации, по-моему стоило бы сказать, хотя бы мелким шрифтом где-нибудь на полях, для желающих понять чуть больше. Может оно и сказано где-то, а просто пока сам не ткнёшься, не понимаешь что тебе как раз пытались объяснить то самое, что ты не понимал.