Альтернатива методу максимального правдоподобия в радиосвязи

[asteriks84]

Доброе время суток уважаемые форумчане!
Хотел Вам изложить предмет своих мытарств.. и спросить совет, способ, решение их. Пишу именно в этом разделе потому как ответ на заданный мной вопрос лежит именно в области математической статистики. Сам вопрос будет в конце…, после изложения самой проблематики.
Вначале приведем алгоритм дифференциального кодирования, а затем место, которое возможно изменить для того, что можно было его усовершенствовать.

КОДИРОВАНИЕ
Передаваемые биты ${c_i}$ (01101001010110011010101 – к примеру), при $i = 0,\,1,\,2,\,3\,...$, подаются на вход передатчика. В передатчике применяется модуляция М-PSK (фазовая модуляция) со следующим созвездием сигналов:

${x_k} = \frac{1}{{\sqrt {nTx} }}\exp \left( {\frac{{2{\pi}kj}}{M}} \right)$ при $k = 0,1,2,...,M - 1$. $(1)$

Где $k$ – $k$-й сигнал созвездия модуляции;
$M$ – количество сигналов созвездия (может принимать значения 2, 4, 8, 16, 32 … и т.д.);
$nTx$ – число передающих антенн (может принимать значения 1, 2, 4, 8, … и т.д.).
К примеру, если $nTx = 2$ и $M = 2$, то ${x_k}$ принимает значения ${x_k}=\begin{pmatrix} 0.707 \\ -0.707 \end{pmatrix}$, а если $nTx = 2$ и $M = 4$, то ${x_k}$ принимает значения ${x_k}=\begin{pmatrix} 0.707 \\ 0.707i \\-0.707\\-0.707i \end{pmatrix}$.
Последовательность передаваемых бит ${c_i}$ разбивается на группы по $nTx\,m$ бит $\left( {m = {{\log }_2}M} \right)$, которые преобразуется в сигналы созвездия модуляции М-PSK. К примеру, ${x_k}=\begin{pmatrix} 0.707\to0 \\ -0.707\to1 \end{pmatrix}$ или ${x_k}=\begin{pmatrix} 0.707\to01 \\ 0.707i\to00 \\-0.707\to11\\-0.707i\to10 \end{pmatrix}$.
В случае $nTx = 2$ (две передающие антенны), кодирование основано на комплексной ортогональной форме и осуществляется по приведенной ниже табл. 1:


Пояснения к Таблице 1:
Сигналы $x_1$ и ${x_2}$ являются опорными и передаются первой и второй антенной в момент времени $t$, а сигналы $-x_2^*$ и $x_1^*$ в момент $t+1$ (${x^*}$ означает комплексное сопряжение к $x$). Переданная таким образом матрица ${{\bf{G}}_1} = \begin{pmatrix} {x_1} & - x_2^* \\ {x_2} & x_1^* \end{pmatrix}$ не несет никакой информации о передаваемых данных, является опорной и одновременно комплексной ортогональной формой $\left( {{{\bf{G}}_1}{\bf{G}}_1^H = {{\bf{I}}_2}} \right)$ (${ \cdot^H}$ - эрмитово сопряжение).
В момент времени $t+2$ в кодер поступает блок информационных бит $nTx\,m$, исходя из значений которых по таблице состояний кодера (приведена далее) определяются два комплексных дифференциальных коэффициента ${R_1}$ и ${R_2}$, после чего рассчитываются значения сигналов ${x_3}$ и ${x_4}$:

$({x_3},{x_4}) = {R_1}({x_1},{x_2}) + {R_2}( - x_2^*,x_1^*)$. $(2)$

Выражение (2) называется правилом дифференциального кодирования. Процедура кодирования состоит в вычислении набора коэффициентов ${R_1}$ и ${R_2}$ по таблице состояний кодера (число состояний $j = {M^{nTx}}$), значения которых зависят от множества комбинаций двоичных входных информационных значений ${c_i}$ (0 или 1), числа передающих антенн и вида модуляции. Векторы ${\left( {{R_1},\;{R_2}} \right)_j}$ при каждом из значений $j$ образуют множество $\bf{R}$.
В момент времени $t+2$ через первую и вторую антенны передаются сигналы ${x_3}$ и ${x_4}$ соответственно, а в момент $t+3$ – сигналы $-x_4^*$ и $x_3^*$. Сигнальная матрица ${{\bf{G}}_2} = \begin{pmatrix} {x_3} & - x_4^* \\ {x_4} & x_3^* \end{pmatrix}$ несет информацию блока информационных бит $nTx\,m$ и также является комплексной ортогональной формой $\left( {{{\bf{G}}_2}{\bf{G}}_2^H = {{\bf{I}}_2}} \right)$.
Пример: Таблица состояний кодера при $nTx = 2$ и модуляции BPSK $\left( {M = 2} \right)$ (табл. 2)


Аналогичным образом таблица дополнится случаями, при которых значения ${x_1}$ и ${x_2}$ равны $-0,707$, $0,707$ и $-0,707$, $-0,707$ соответственно.
Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между опорной матрицей ${{\bf{G}}_1}$, блоком информационных бит $nTx\,m$, дифференциальными коэффициентами ${R_1}$, ${R_2}$ и сигнальной матрицей ${{\bf{G}}_2}$.
Дифференциальные коэффициенты ${R_1}$ и ${R_2}$ рассчитываются как ${R_1} = {x_3}x_1^* + {x_4}x_2^*$; ${R_2} = - {x_3}{x_2} + {x_4}{x_1}$ и задают множество $\bf{R}$ до начала процесса кодирования, исходя из возможных значений сигналов ${x_1}, {x_2}$, ${x_3} и {x_4}$.
Структурная схема кодера передатчика приведена на рисунке.


ДЕКОДИРОВАНИЕ
Рассмотрим случай использования двух передающих антенн $\left( {nTx = 2} \right)$ и одной приемной $\left( {nRx = 1} \right)$. Обозначим через ${r_t}$ принимаемый сигнал, ${n_t}$ – шум в момент времени $t$, а ${h_1}$ и ${h_2}$ – канальные коэффициенты от первой и второй передающей антенны к приемной антенне (используется рэлеевский канал замираний, который поддерживается постоянным лишь (значения ${h_1}$ и ${h_2}$ – случайные величины) в пределах передачи минимум двух соседних матриц ${{\bf{G}}_i}$ - условие данного дифференциального метода кодирования). Принятые сигналы в моменты времени $t$, $t+1$, $t+2$ и $t+3$ могут быть соответственно записаны:

${r_1} = {h_1}{x_1} + {h_2}{x_2} + {n_1};$
${r_2} = - {h_1}x_2^* + {h_2}x_1^* + {n_2};$
${r_3} = {h_1}{x_3} + {h_2}{x_4} + {n_3};$
${r_4} = - {h_1}x_4^* + {h_2}x_3^* + {n_4}.$

Дифференциальный коэффициент ${\tilde R_1}$ ($\tilde \cdot$ - обозначает восстановленное значение) определяется ${\tilde R_1} = {r_3}r_1^* + r_4^*{r_2}$, а коэффициент ${\tilde R_2} = {r_3}r_2^* - r_4^*{r_1}$.
Приемник путем оценки максимального правдоподобия (9) выбирает ближайший вектор $\left( {{R_1},\;{R_2}} \right)$ из множества парных значений векторов дифференциальных коэффициентов ${({R_{j1}},\;{R_{j2}})_{j \in R}}$ при каждом из значений $j$ множества $\bf{R}$. Затем для декодирования передаваемого блока битов ${c_1},\,{c_2}$ по Таблице состояний кодера применяется обратное отображение:

${\left( {{{\tilde c}_1},\,{{\tilde c}_2}} \right)_j} = \mathop {\arg \min }\limits_{j \in R} \left\| {\left( {{R_{j1}},\,{R_{j2}}} \right) - \left( {{{\tilde R}_1},\,{{\tilde R}_2}} \right)} \right\|$ $(9)$

где $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ - норма Фробениуса. То есть, хочу подчеркнуть, необходимо перебрать всё множество парных значений векторов дифференциальных коэффициентов ${({R_{j1}},\;{R_{j2}})_{j \in R}}$ и, соответственно, получим $j$ значений аргумента (вначале вычисляем разность, потом берем норму Фробениуса и так $j$ раз). Затем находим минимальное значение аргумента и смотрим какому значению j оно соответствует. После чего, по Таблице состояний кодера принимаем решение о передаваемых битах ${c_1},\,{c_2}$.
При увеличении позиционности фазовой модуляции (при $M = 8,\,16$ и т.д.) такой метод (метод максимального правдоподобия) приводит к возрастанию вычислительной сложности декодирования, поскольку число состояний таблицы состояний кодера $j = {M^{nTx}}$ (к примеру, при $M = 4$ и $nTx = 4$ $j = 256$, а при $M = 8$ и $nTx = 4$ $j = 4096$) и нужно будет перебрать все возможные значения для того, чтобы провести декодирование бит ${c_1},\,{c_2}$.

А теперь сам ВОПРОС: Каким образом возможно сделать, что-то применить, чтобы каждый раз не перебирать все возможные значения парных векторов дифференциальных коэффициентов ${({R_{j1}},\;{R_{j2}})_{j \in R}}$.
В целом структурная схема декодера приемника показана на рисунке.


Данный метод дифференциального кодирования основан на принципе относительного кодирования и допускает отсутствие канальной информации на приемной и передающей сторонах.