2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение30.12.2017, 18:54 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Не могу придумать ни одной функции, для которой выполняется уравнение
$$\frac{d^{2}g(x,y+s)}{dx^2}=-yg(x,y)$$
где $x\in\mathbb{R}, y,s\in\mathbb{C}$. Может быть подскажете в каком направлении двигаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение30.12.2017, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Если дважды проинтегрировать это равенство, то получим, что ваша функция должна иметь вид $g(x,y+s)=-yh(x,y)+C_1(y+s)x+C_2(y+s)$

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение30.12.2017, 19:32 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Тождественный ноль. А других и нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение30.12.2017, 21:29 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Странно, потому что оду получено из дучп
$$\frac{\partial f(\tau,x)}{\partial \tau} = -\pi s \tau^{s-1}\frac{\partial^2 f(\tau,x)}{\partial x^2}$$
после умножения на $\tau$ и применения к нему интегрального преобразования
$$g(y)= \int\limits_{0}^{\infty} \tau^{y-1}f(\tau)\mathrm{d}\tau$$
Наверно, что-то я сделал некорректно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение30.12.2017, 22:38 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Т.е. $s$ какое-то фиксированное число? Я думал, для любого $s$ (как и $y$) уравнение должно выполняться.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение30.12.2017, 23:27 


11/07/16
801
bayak
Функция
$f \left( \tau,x \right) ={{\rm e}^{{\frac {{\tau}^{s}}{s}}}} \left( {
\it C_1}\,\sin \left( {\frac {x}{\sqrt {\pi}\sqrt {s}}} \right) +{
\it C_2}\,\cos \left( {\frac {x}{\sqrt {\pi}\sqrt {s}}} \right) 
 \right) 
$
является решением исходного ДУЧП.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение30.12.2017, 23:42 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
bayak
А почему бы не сделать замену $t=-\tau^s$? Получим ур-е теплопроводности...

-- 31.12.2017, 02:22 --

Про исходное ОДУ: видимо, для каждого $s$ имеем свою $g$, так что $g$ зависит от $s$, да?
Напрашивается: положить $g_0 = g, g_{n+1}(x,y) = g_n(x,y+s)$, так что $g_{n+1,}'_x =g_n$
Как обычно, ради того, чтоб не тащить целую кучу $g_n$, введем производящую $G(x,y,z)=\sum\limits_{n}^{} g_n(x,y)z^n$. И получим ДУЧП на $G$. И, мобыть, тот самый, с которого и стартовали.... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение31.12.2017, 00:42 


11/07/16
801
DeBill
Цитата:
А почему бы не сделать замену $t=-\tay^s$ ? Получим ур-е теплопроводности...

Вы подметили суть дела.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение31.12.2017, 11:00 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill в сообщении #1280249 писал(а):
А почему бы не сделать замену $t=-\tau^s$? Получим ур-е теплопроводности...

А ничего, что $t$ комплексная переменная? Хотя, похоже это только меня смутило, - ведь Markiyan Hirnyk (спасибо ему) решил ДУЧП.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение01.01.2018, 15:04 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
bayak в сообщении #1280332 писал(а):
решил ДУЧП.

Вообще то - нет, не решил: есть же еще куча решений. Например, $f=e^{k^2t +kx}$ (ну, если $\pi$ и $s$ равны 1....)
Так что тут надо смотреть - что Вам надо (какие решения Вас интересуют: определенные на всей комплексной плоскости, или где)

 Профиль  
                  
 
 Re: ОДУ с комплексными параметрами
Сообщение02.01.2018, 16:33 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill в сообщении #1280508 писал(а):
Вообще то - нет, не решил: есть же еще куча решений. Например, $f=e^{k^2t +kx}$ (ну, если $\pi$ и $s$ равны 1....)
Так что тут надо смотреть - что Вам надо (какие решения Вас интересуют: определенные на всей комплексной плоскости, или где)

Спасибо, только сейчас начинаю это понимать. Итак, мне надо найти решение уравнения (исправлено переносом параметра в нужную сторону)
$$	s \tau^{s-1}\frac{\partial f(\tau,x)}{\partial \tau} = -\pi \frac{\partial^2 f(\tau,x)}{\partial x^2}$$
с начальными $\tau \rightarrow 0$ условиями в виде периодической дельта функции $\left\{\delta(x-z)|z\in\mathbb{Z}\right\}$. Причём, параметр $\tau^{s}$ в этом уравнении лучше бы заменить на лежащее в верхней комплексной полуплоскости фактор-число $\widetilde{\tau^{s}} = \tau^{s}/\mathrm{e}^{\pi\mathrm{i}}$. Понятно, что в качестве решений подходят тэта-функции, но как получить из этого уравнения дискретный спектр решений не очень понятно. Хотя, если $\tau\in\mathbb{N}$, то можно просто подставлять в сумму ряда соответствующий параметр. А что понимать под собственными значениями этого уравнения?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group