ОДУ с комплексными параметрами

[bayak]

Не могу придумать ни одной функции, для которой выполняется уравнение

$$\frac{d^{2}g(x,y+s)}{dx^2}=-yg(x,y)$$

где $x\in\mathbb{R}, y,s\in\mathbb{C}$. Может быть подскажете в каком направлении двигаться?

[thething]

Если дважды проинтегрировать это равенство, то получим, что ваша функция должна иметь вид $g(x,y+s)=-yh(x,y)+C_1(y+s)x+C_2(y+s)$

[Vince Diesel]

Тождественный ноль. А других и нет.

[bayak]

Странно, потому что оду получено из дучп

$$\frac{\partial f(\tau,x)}{\partial \tau} = -\pi s \tau^{s-1}\frac{\partial^2 f(\tau,x)}{\partial x^2}$$

после умножения на $\tau$ и применения к нему интегрального преобразования

$$g(y)= \int\limits_{0}^{\infty} \tau^{y-1}f(\tau)\mathrm{d}\tau$$

Наверно, что-то я сделал некорректно.

[Vince Diesel]

Т.е. $s$ какое-то фиксированное число? Я думал, для любого $s$ (как и $y$) уравнение должно выполняться.

[Markiyan Hirnyk]

bayak
Функция
$f \left( \tau,x \right) ={{\rm e}^{{\frac {{\tau}^{s}}{s}}}} \left( { \it C_1}\,\sin \left( {\frac {x}{\sqrt {\pi}\sqrt {s}}} \right) +{ \it C_2}\,\cos \left( {\frac {x}{\sqrt {\pi}\sqrt {s}}} \right) \right) $
является решением исходного ДУЧП.

[DeBill]

bayak
А почему бы не сделать замену $t=-\tau^s$? Получим ур-е теплопроводности...

-- 31.12.2017, 02:22 --

Про исходное ОДУ: видимо, для каждого $s$ имеем свою $g$, так что $g$ зависит от $s$, да?
Напрашивается: положить $g_0 = g, g_{n+1}(x,y) = g_n(x,y+s)$, так что $g_{n+1,}'_x =g_n$
Как обычно, ради того, чтоб не тащить целую кучу $g_n$, введем производящую $G(x,y,z)=\sum\limits_{n}^{} g_n(x,y)z^n$. И получим ДУЧП на $G$. И, мобыть, тот самый, с которого и стартовали....

[Markiyan Hirnyk]

DeBill

Цитата:

А почему бы не сделать замену $t=-\tay^s$ ? Получим ур-е теплопроводности...

Вы подметили суть дела.

[bayak]

DeBill в сообщении #1280249 писал(а):

А почему бы не сделать замену $t=-\tau^s$? Получим ур-е теплопроводности...

А ничего, что $t$ комплексная переменная? Хотя, похоже это только меня смутило, - ведь Markiyan Hirnyk (спасибо ему) решил ДУЧП.

[DeBill]

bayak в сообщении #1280332 писал(а):

решил ДУЧП.

Вообще то - нет, не решил: есть же еще куча решений. Например, $f=e^{k^2t +kx}$ (ну, если $\pi$ и $s$ равны 1....)
Так что тут надо смотреть - что Вам надо (какие решения Вас интересуют: определенные на всей комплексной плоскости, или где)

[bayak]

DeBill в сообщении #1280508 писал(а):

Вообще то - нет, не решил: есть же еще куча решений. Например, $f=e^{k^2t +kx}$ (ну, если $\pi$ и $s$ равны 1....)
Так что тут надо смотреть - что Вам надо (какие решения Вас интересуют: определенные на всей комплексной плоскости, или где)

Спасибо, только сейчас начинаю это понимать. Итак, мне надо найти решение уравнения (исправлено переносом параметра в нужную сторону)

$$ s \tau^{s-1}\frac{\partial f(\tau,x)}{\partial \tau} = -\pi \frac{\partial^2 f(\tau,x)}{\partial x^2}$$

с начальными $\tau \rightarrow 0$ условиями в виде периодической дельта функции $\left\{\delta(x-z)|z\in\mathbb{Z}\right\}$. Причём, параметр $\tau^{s}$ в этом уравнении лучше бы заменить на лежащее в верхней комплексной полуплоскости фактор-число $\widetilde{\tau^{s}} = \tau^{s}/\mathrm{e}^{\pi\mathrm{i}}$. Понятно, что в качестве решений подходят тэта-функции, но как получить из этого уравнения дискретный спектр решений не очень понятно. Хотя, если $\tau\in\mathbb{N}$, то можно просто подставлять в сумму ряда соответствующий параметр. А что понимать под собственными значениями этого уравнения?