Получение уравнений ОТО путем варьирования действия

[misha.physics]

Здравствуйте.
Подскажите, пожалуйста, где (монографии или что-то попроще, учебники) можно научится получать уравнения грав. поля с использованием принципа наименьшего действия.
В моем случае дано действие $S$, в него входят скалярная кривизна $R$, космологическая постоянная $\Lambda$, ну и электромагнитное поле $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$, причем последнее может входить нелинейно. Кроме уравнений грав. поля нужно ещё получить уравнения этого электромагнитного поля. Литература нужна чтобы познакомится с общими идеями и иллюстративными примерами (вычислениями).

В ЛЛ2 этот подход видел, и во 2-м томе МТУ, но может есть ещё что-то . Думаю, Вы лучше знаете где понятнее и детальнее написано.

Чтобы можно было разъяснить для себя такого рода непонятки:
Есть действие $S(g_{\mu\nu}, F_{\mu\nu})$. Можно ли сначала сказать, что изменяется только метрика, проварьировать действие и получить грав. поле? А потом сказать, что меняется только поле $F_{\mu\nu}$ (или потенциал $A_{\mu}$) и получить эл. магн. поле? Я не имел раньше дел с вариационным принципом (кроме классической механики, но там-то без индексов, не так страшно. Уравнения Лагранжа получаются, тот же ЛЛ1). А здесь не знаю, нужно сразу подставлять $A_\mu$ в $F_{\mu\nu}$, или нет...

Это первая половина работы, кроме этого задана метрика, и нужно ещё эти уравнений будет решить, но там я надеюсь к дифференциальным уравнениям на метрику я дойду... Это позже.

[Erleker]

Общее действие должно быть экстремально вообще.
Варьируя его всего по метрике и приравнивая вариацию к нулю, да, получаем уравнения для гравитационного поля.
Аналогично для электромагнитного поля, но только нужно помнить, что $F_{ik}$ не независимые, поле задается 4-мя функциями $A_{i}$, поэтому вариацию записываем через них, чтобы "вынося за скобки" можно было ввиду их произвольности ( так же как делается с метрикой) получить искомые уравнения для электромагнитного поля.
Это общие представления.
В известных вам вчебниках сам принцип наименьшего действия и получение через него уравнений ОТО рассмотрены достаточно. Не знаю, где есть подробнее и понятнее...
А случаи с нелинейным вхождением электромагнитного и пр., кажется, в учебниках не разбираются...
Но записать уравнения можно просто зная сам принцип, по которому это делается.

(Оффтоп)

С Новым Годом!

[misha.physics]

Erleker, спасибо, уже начал разбирать по Ландау.

(Оффтоп)

С Новым годом :)

[misha.physics]

А вот если у нас под интегралом в действии есть, например:
$R+\Lambda+F$,
где $F=F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$,
и мы хотим получить уравнения грав. поля. Мы варьируем по $g_{\mu\nu}$, но как быть с $F$? Не видно как в него входит метрика. Мы можем "искуственно" её туда засунуть, подняв, опустив индексы в $F_{\mu\nu}$. Но если этого не делать, то как посчитать $\delta_{g_{\mu\nu}}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$?

[Erleker]

Вариация по метрике входящего тут электромагнитного поля выражается через его ТЭИ ( в принципе, по определению, поскольку подобным образом его ков. "сохраняемость" и выводят), то есть в данном случае можно просто сразу написать его.
А сама процедура делается так, что, да, суть в том, что метрика входит в поднятия, а фиксируем мы поле с индексами на конретном соответствующем уровне.
Это есть про ТЭИ в ЛЛ-2 в 94.

[svv]

misha.physics в сообщении #1280452 писал(а):

В моем случае дано действие $S$, в него входят скалярная кривизна $R$, космологическая постоянная $\Lambda$, ну и электромагнитное поле $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

А непрерывной массивной среды или дискретных частиц, траектории движения которых тоже надо варьировать, у Вас нет?

[misha.physics]

svv, нету. Только эти три скаляра. В общем речь идет о решении для чёрной дыры. Наверное за горизонтом событий.

-- 01 янв 2018, 21:28 --

В ЛЛ2 нашёл, что $\delta\int d\Omega\sqrt{-g}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\approx \int d\Omega\sqrt{-g}T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$.
Выражение для $T_{\mu\nu}$ там тоже есть.
Но если у меня не просто $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$, а какой-то степень етого выражения, то можно ли принять общим выражение:
$\delta\int d\Omega\sqrt{-g}\Phi\approx \int d\Omega\sqrt{-g}T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}$,
где под $\Phi$ у меня будет не $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$, а скажем $(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})^p$?
Если да, то нужно пересчитать, входящий сюда $T_{\mu\nu}$ для моей функции $\Phi$, да?

Хотя нет, в ЛЛ2 как раз написано выражение для неопределенной функции $\Phi$ (там это $\Lambda$). А потом рассматривают частный случай: $\sim F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$. Просто я не уверен, что это выражения действует и для функций, типа степени от поля...

[Erleker]

Равенства на вариацию точные, а не приблизительные. Просто в выводе используются приблизительно малые преобразования.
Можно заново проварьировать (применить формулу), да. Формула выведена для любого действия поля.

[misha.physics]

Erleker, если вы о $, то я имел ввиду числовой коэффициент.

[misha.physics]

Разобрался. Можно обойтись и без тензора энергии-импульса. Просто нужно помнить, что $F_{\mu\nu}$ и $F^{\mu\nu}$ не есть независимыми. Они переходят друг в друга с помощью метрики, которую мы как-раз и варьируем.