Уравнение с разделяющимися переменными

[ewert]

Draeden писал(а):

ewert, вы предлагаете запись вроде $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ ? Я её старательно избегаю, поскольку не понимаю её смысла. Буду признателен, если обьясните.

Я лично обычно вывожу формально решение уравнения $y'=f(x)g(y)$ примерно так: ${y'(x)\over g(y(x))}=f(x)$, откуда $\int f(x)\,dx=\int{y'(x)\,dx\over g(y(x))}=\int{dy\over g(y)}$. Однако при этом обязательно добавляю: мол, ребята, всё это ловля блох, и нужна только для сдачи экзамена, а практически, разумеется, $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$, и остаётся только эти бесконечно малые сложить -- настолько, насколько это возможно. Т.е. проинтегрировать.

Видимо, сказывается моё отчасти физическое воспитание. Когда-то в детстве нам объяснили, что интеграл (определённый) -- это, дескать, некая аддитивная функция промежутка и т.д.; и, кстати, очень аккуратно объяснили. Однако когда потом речь на физике зашла об интегралах, и физик полюбопытствовал, а что мы, собственно, под ними понимаем, и мы загнули ему, как нас учили, про "аддитивную функцию" -- тот страшно удивился: мол, ему-то всегда казалось, что интеграл -- это просто жутко большое количество жутко маленьких слагаемых...

[Draeden]

Подозрение к диффурам у меня возникло после матана, точнее интеграла Лебега: выражение под интегралом $f(x)dx$ содержит $dx$ похоже только для наглядности: этакий разделитель функции от того, по чему интегрируют. И вот когда я посмотрел на выражение $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ я понял, что я ничего не понимаю

[ewert]

Draeden писал(а):

Подозрение к диффурам у меня возникло после матана, точнее интеграла Лебега: выражение под интегралом $f(x)dx$ содержит $dx$ похоже только для наглядности: этакий разделитель функции от того, по чему интегрируют. И вот когда я посмотрел на выражение $\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$ я понял, что я ничего не понимаю

Дело в том, что интеграл Лебега -- это лишь измышление злобствующих математиков, придуманное исключительно для обеспечения полноты соотв. функциональных пространств (что само по себе, конечно, важно). А по существу интеграл в любом смысле -- это просто площадь подграфика, не больше и не меньше.

[Draeden]

А, скажем, интеграл по контуру ?

[ewert]

Draeden писал(а):

А, скажем, интеграл по контуру ?

Всё равно -- сумма большого к-ва маленьких слагаемых.

Кстати, автора того афоризма для приличия стоит назвать: глубокоув. Анатолий Георгиевич Изергин (к сожалению, уже ушедший из жизни).

[Draeden]

Вы про какой афоризм ? Про этот "Интеграл Лебега - это лишь измышление злобствующих математиков, придуманное исключительно для обеспечения полноты соотв. функциональных пространств" ?

P.S. определения афоризма я не знаю, так что могу ошибаться

[ewert]

Draeden писал(а):

Вы про какой афоризм ? Про этот "Интеграл Лебега - это ... " ?

Нет, это моё личное измышление, и на афористичность я не претендую. Речь о другом: что любой интеграл, как бы его формально его ни определять -- в любом случае по существу является суммой большого к-ва маленьких слагаемых.

[Draeden]

Хотя эти интегралы продвигают: начали с Римана, дошли до всяких там $It\bar{o}$ интегралов. Зачем то же это надо ?..

[Draeden]

Narn, не могли бы вы пояснить как вы доказываете единственность ?
К примеру: пусть есть

$y'=f(x)g(y)$
$z'=f(x)g(z)$
$y(x_0)=z(x_0)$

почему $y=z$ ?

[Narn]

А что было тут непонятно ?

Narn писал(а):

1) Докажем единственность. Пусть такая функция существует. Тогда должно выполняться равенство $\int\limits_{y_0}^{y(x)} \frac{dy}{g(y)}=\int\limits_{x_0}^{x}f(x)dx$
Пусть $G(y)=$\int\limits_{y_0}^{y} \frac{dy}{g(y)}$ - первообразная для $1/g$, $F=\int\limits_{x_0}^{x}f(x)dx$ - для $f$. Функция $G$ является монотонной, так как ее производная $1/g$ сохраняет знак в $v'(y_0)$, то есть существует обратная $G^{-1}$. Имеем: $G(y(x))=F(x)$, откуда $y(x)=G^{-1}(F(x))$. То есть, если решение существует, то оно обязано иметь такой вид.

Еще раз смотрим на последнюю фразу и последнюю формулу. $F$ и $G$ определяются по $f$, $g$, $x_0$, $y_0$ однозначно. Я в цитате чуть-чуть подправил формулы, чтобы было понятно, что $y$ - это не произвольное число, а значение функции $y$ в точке $x$. Конечно, писать просто $y$ - так же безграмотно, как говорить "функция $\sin x$", но все так делают. Вольность речи, привычка. Может, Вас это сбило?

[Draeden]

Ok, спасибо.