Найти период шарика в электростатическом поле

[capt]

Две вертикальные однородно заряженные непроводящие пластины расположены в вакууме на расстоянии $d = 70$ мм друг от друга. Между пластинами на длинной легкой нерастяжимой нити подвешен небольшой заряженный ($|q| = 200$ нКл) шарик массой $m = 630$ г , который движется, поочередно ударяясь о пластины. При ударе о каждую из пластин шарик теряет $\eta = 36.0$ % своей кинетической энергии. В момент каждого удара шарик перезаряжают, и знак его заряда изменяется на противоположный. Если модуль напряженности однородного электростатического поля между пластинами $E = 400$ кВ/м, то период $T$ ударов шарика об одну из пластин ...мс.

Рассуждения таковы.
Движение по вертикали, можно сказать, не происходит, т.к. угол отклонения очень мал $\Rightarrow$ сила натяжения нити компенсирует силу тяжести $T \approx mg$. Что касается движения, пусть в некоторый момент времени шарик при отскоке от левой пластины (к примеру) имеет скорость $\vec{V_0}$ и кинетическую энергию $W_0$. Во время движения шарика к правой пластине поле совершает над ним работу ($A = qEd$), и эта работа идет на увеличение его кинетической энергии. Тогда Кинетическая энергия в момент столкновения шарика с правой пластиной будет $W = W_0 + qEd$. После столкновения с пластиной его энергия станет $W_1 = (W_0 + qEd)(1 - \eta)$. Затем он движется к левой пластине и поле совершает работу над шариком $\Rightarrow$ энергия шарика в момент столкновения $W_2 = (W_0 + qEd)(1 - \eta) + qEd$. После отскока энергия $W_3 = ((W_0 + qEd)(1 - \eta) + qEd)(1 - \eta)$. Если раскрыть скобки $W_3$, то получим:

$$W_3 = W_0 (1 - \eta)^2 + qEd(1 - \eta)^2 + qEd(1 - \eta)$$

А для $n$-ого числа членов это будет выглядеть так:

$$W_{n} = W_0 (1 - \eta)^n + qEd(1 - \eta)^{n} + qEd(1 - \eta)^{n-1} + ... + qEd(1 - \eta)^{2} + qEd(1 - \eta)$$

или же, если $n \rightarrow \infty$

$$W =qEd(1 - \eta)^{n} + qEd(1 - \eta)^{n-1} + ... + qEd(1 - \eta)^{2} + qEd(1 - \eta)$$

. А это уже убывающая ГП, где $b_1 = qEd(1 - \eta)$. Тогда сумма ее равна

$$W = \frac{qEd(1 - \eta)}{\eta}$$

.
Как я понимаю эта формула говорит о том, что через какой-то промежуток времени скорость отскока шарика от стены будет одинаковой и равна: $V = \sqrt{\frac{2W}{m}}$
Вопросы:
1) Как тогда менялась энергия до этого момента?
2) Как еще можно решать эту задачу?

[mihiv]

Шарик приобретает кинетическую энергию в поле и теряет ее при соударении. Что будет происходить, если прирост кинетической энергии за полпериода будет больше/меньше/равен потере кин. энергии при одном соударении?

[capt]

mihiv
Прирост кин. энергии за полпериода: $qEd$
Потерянная энергия после отскока: $W-W_1 = (W_0 + qEd)\cdot\eta$
1) Если прирост кинетической энергии за полпериода будет больше потери кин. энергии при одном соударении: $(W_0 + qEd)\eta < qEd \Rightarrow$

$$W_0 < \frac{qEd(1 - \eta)}{\eta}$$

2) Если прирост кинетической энергии за полпериода будет меньше потери кин. энергии при одном соударении:

$$W_0 > \frac{qEd(1 - \eta)}{\eta}$$

3) Если прирост кинетической энергии за полпериода будет равен потере кин. энергии при одном соударении:

$$W_0 = \frac{qEd(1 - \eta)}{\eta}$$

Что-то не получается смысл с этого выдавить

[mihiv]

capt
Обратите внимание, что приобретается всегда одинаковая энергия $qEd$, а потери при соударении тем больше, чем больше кинетическая энергия шарика. Так что, например, в случае 3) энергия шарика в среднем за период постоянна и совпадает с той, что вы получили через сумму прогрессии.

[capt]

mihiv
Вроде понял. Т.е. если в какой-то момент времени кинетическая энергия шарика настолько велика, что потери энергии после удара больше $qEd$, то после следующего отскока энергия будет уменьшаться, а когда кинетическая энергия мала - увеличиваться. Таким образом через некоторый промежуток времени энергия при отскоке будет всегда постоянна?

[mihiv]

Да, все правильно.

[capt]

Интересно, какие еще есть способы решения?