Квантование комплексного поля Клейна-Гордона.

[Pulseofmalstrem]

Добрый вечер! Собственно в настоящий момент я решаю задачу на квантование комплексного поля Клейна-Гордона, задача сия довольно обширная, поэтому я буду постепенно выкладывать сюда свое решение, попутно задавая вопросы, если где мне что будет непонятно. Очень прошу чтобы кто-нибудь проверил бы мои действия, заранее благодарю за помощь.

Сама задача формулируется так: у нас на входе есть обычная теория комплексного поля Клейна-Гордона, чье действие записывается в следующем виде:
$S = \int\limits_{}^{}d^4x(\partial_{\mu}\phi^{*} \partial^{\mu}\phi - m^2 \phi^{*}\phi)$

Список того, что нужно с этим полем проделать:

1) Найти сопряженные импульсы, записать канонические коммутационные соотношения, записать гамильтониан, а затем Гейзенберговские уравнения движение для поля $\phi(x)$, оно должно совпасть разумеется с уравнением Клейна-Гордона.

2) Ввести операторы рождения и уничтожения, показать что существует два разных типа частиц с одинаковой массой $m$.

3) Записать сохраняющийся заряд (который как известно есть в силу глобальной симметрии относительно $SU(1)) через операторы рождения и уничтожения.

4) Рассмотреть случай когда полей 2 поля на предмет существования зарядов 4 типов, показать что 3 из них коммутируют как операторы углового момента ($SU(2)$), и обобщить это на случай $n$ полей.

Собственно, пока я выпишу только решение для первого пункта, и пойду пытаться решить 2:

1) Лагранжиан поле у нас следующий:
$$\mathfrak{L} = \partial_{\mu}\phi^{*} \partial^{\mu}\phi - m^2 \phi^{*}\phi = \dot{\phi^{*}}\dot{\phi} - \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) - m^2 \phi^{*} \phi$

Есть 2 плотности импульсов:

$\pi(x) = \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{\phi}} = \dot {\phi^{*}}$
$\pi^{*}(x) = \dot {\phi}$

Гамильтониан строится, как обычно по формуле:
$H = \int d^3 x \mathfrak{H}= \int d^3 x [\pi \dot{\phi} + \pi^{*} \dot{\phi^{*}} - \mathfrak{L}] = \int d^3 x [\pi^{*}\pi + \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi]$

2) Стандартные коммутационные соотношения следует записать так:
$[\phi(x), \pi(x')] = i \delta^3 (x - x')$ (пространство трехмерное, так что под $x$ понимается именно 3 координаты).
$[\phi^* (x), \pi^* (x')] = i \delta^3 (x - x')$
Все остальное коммутирует друг с другом.

3) Гейзенберговские уравнения движения (запишем только для $\phi$, так как другое уравнение получится с помощью сопряжения):

$i \frac{\partial \phi}{\partial t} = [\phi, H]$
$i \frac{\partial \pi}{\partial t} = [\pi, H]$

Нетривиальным здесь является вычисления коммутаторов, к чему и переходим:

$[\phi, H] = [\phi(x), \int d^3 x' (\pi^{*}\pi + \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)] = [\phi(x), \int d^3 x'(\pi^{*}\pi)] = \ = \int d^3 x' [\phi(x), \pi^* (x') \pi(x')] = \int d^3 x' \pi^* (x') i \delta^3 (x - x') = i \pi^* (x)$

Во многом аналогично вычисляется такой же коммутатор для импульса:

$[\pi^* (x), H] = [\pi^* (x), \int d^3 x' (\pi^{*}\pi + \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)] = [\pi^* (x), \int d^3 x' (\nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)] = \int d^3 x' [\pi^* (x), (\nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)]$
Честно говоря, не знаю как вычислить этот коммутатор. Ясно, что сопряженный импульс коммутирует с полем $\phi$, однако надо как-то выделить там вожделенный оператор $-\nabla^2 + m^2$, который через дельта функцию приедет в точку $x$, тогда совместив два уравнения на импульс и координату мы получим искомое уравнение Клейна-Гордона.

[amon]

В общем (в детали не всматривался) правильно, но затейливо. Проще сразу сделать преобразование Фурье операторов поля:

$$ \hat{\Phi}(k)=\int dx\; e^{ikx}\hat{\Phi}(x) $$

и некоторые проблемы пропадут.

[Pulseofmalstrem]

amon
Ну после преобразования у нас появится набор гармонических осцилляторов (каждая мода Фурье исходного поля будет представлять из себя осциллятор согласно классическим уравнениям), тогда каждый такой осциллятор можно проквантовать обычным образом, тогда выделится вакуумное состояние, которое обращается в полный нуль, под действием понижающего оператора, а дальше из него можно операторами рождения получить полный спектр теории. В нашем случае так как у нас 2 независимые величины, которые коммутируют друг с другом, то для них можно построить общий базис, на каждую величину будет по паре операторов рождения и смерти, итого будет 2 типа частиц (по 1 типу с каждого независимого поля). По идее все должно получиться, я просто никогда раньше такого не делал, поэтому испытываю трудности. Сейчас соберусь с силами в явном виде вычислю спектр, чтобы потом попытаться переписать сохраняющийся ток в классической теории в терминах квантовых частиц, и если будут силы попробую доказать причинность в нашей теории (посчитать амплитуды распространения в световых конусах по рецепту, который изложен в учебнике), чтобы убедиться что там все хорошо и измерения могут влиять друг на друга только в конусе световом.

[amon]

Pulseofmalstrem в сообщении #1279975 писал(а):

Ну после преобразования у нас появится набор гармонических осцилляторов

Так, прям-сразу не появится. Нужно ещё чуть-чуть поработать.

[Pulseofmalstrem]

amon
Ну нужно сделать преобразование фурье уравнения Клейна-Гордона (классического), тогда вместо производных по координате фурье образы будут просто умножаться на $p$, что даст нам право интерпретировать уравнение Клейна-Гордона как уравнение гармонических осциляторов, но это довольно тривиальное действие.

[amon]

Pulseofmalstrem в сообщении #1279979 писал(а):

Гордона как уравнение гармонических осциляторов, но это довольно тривиальное действие.

Вот и попробуйте это проделать.

[Pulseofmalstrem]

Получается так, для нашего поля классические уравнения Клейна-Гордона записываются в следующем виде:
$\partial_{\mu}\partial^{\mu} \phi^* + m^2 \phi^* =(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 +m^2) \phi^*= 0 $
$\partial_{\mu}\partial^{\mu} \phi + m^2 \phi = (\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 +m^2) \phi^= 0$
После применения преобразования Фурье к нашим замечательным полям:
$\phi(x,t) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} e^{ipx}\phi(p, t)$
$\phi^* (x,t) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} e^{ipx}\phi^* (p, t)$
Исходные уравнения поля примут вид:
$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + |p^2| + m^2) \phi^*(p,t) = 0$
$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + |p^2| + m^2) \phi(p,t) = 0$
Собственно, это и есть уравнения гармонических осцилляторов, с собственными частотами:
$\omega_p = \sqrt{|p^2| + m^2}$ (ну точь в точь связь между энергией и импульсом некотором частицы).
Теперь эти осцилляторы надо проквантовать обычным образом, для этого вводятся операторы рождения и смерти:
$\phi(x) = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_p e^{ipx} + a_p^{\dagger} e^{-ipx})$
$\pi(x) = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3}-i\sqrt{\frac{\omega_p}{2}}(a_p e^{ipx} - a_p^{\dagger} e^{-ipx})$

Аналогично расписывается для комплексно сопряженного поля:
$\phi^*(x) = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(b_p e^{ipx} + b_p^{\dagger} e^{-ipx})$
$\pi^*(x) = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3}-i\sqrt{\frac{\omega_p}{2}}(b_p e^{ipx} - b_p^{\dagger} e^{-ipx})$

Коммутация при таком выборе обозначений происходит по такому правилу:

$[a_p, a_{p'}^{\dagger}] = (2\pi^3) \delta^3(p - p')$
$[b_p, b_{p'}^{\dagger}] = (2\pi^3) \delta^3(p - p')$

Осталось только явно выразить гамильтониан, найти коммутаторы операторов рождения и смерти с гамильтонианом, с их помощью построить спектр. Сейчас проделаю, вопрос верно ли что я ввел разные операторы рождения и смерти для полей $\phi$ и $\phi^*$?

[amon]

Pulseofmalstrem в сообщении #1279996 писал(а):

Сейчас проделаю, вопрос верно ли что я ввел разные операторы рождения и смерти для полей $\phi$ и $\phi^*$?

Нет. Ведь Ваше $\phi^*$ на самом деле - $\phi^+$ и Ваши $a$ и $b$ не независимы.