Добрый вечер! Собственно в настоящий момент я решаю задачу на квантование комплексного поля Клейна-Гордона, задача сия довольно обширная, поэтому я буду постепенно выкладывать сюда свое решение, попутно задавая вопросы, если где мне что будет непонятно. Очень прошу чтобы кто-нибудь проверил бы мои действия, заранее благодарю за помощь.
Сама задача формулируется так: у нас на входе есть обычная теория комплексного поля Клейна-Гордона, чье действие записывается в следующем виде:

Список того, что нужно с этим полем проделать:
1) Найти сопряженные импульсы, записать канонические коммутационные соотношения, записать гамильтониан, а затем Гейзенберговские уравнения движение для поля

, оно должно совпасть разумеется с уравнением Клейна-Гордона.
2) Ввести операторы рождения и уничтожения, показать что существует два разных типа частиц с одинаковой массой

.
3) Записать сохраняющийся заряд (который как известно есть в силу глобальной симметрии относительно $SU(1)) через операторы рождения и уничтожения.
4) Рассмотреть случай когда полей 2 поля на предмет существования зарядов 4 типов, показать что 3 из них коммутируют как операторы углового момента (

), и обобщить это на случай

полей.
Собственно, пока я выпишу только решение для первого пункта, и пойду пытаться решить 2:
1) Лагранжиан поле у нас следующий:

Есть 2 плотности импульсов:


Гамильтониан строится, как обычно по формуле:
![$H = \int d^3 x \mathfrak{H}= \int d^3 x [\pi \dot{\phi} + \pi^{*} \dot{\phi^{*}} - \mathfrak{L}] = \int d^3 x [\pi^{*}\pi + \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi]$ $H = \int d^3 x \mathfrak{H}= \int d^3 x [\pi \dot{\phi} + \pi^{*} \dot{\phi^{*}} - \mathfrak{L}] = \int d^3 x [\pi^{*}\pi + \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/5/8350b24aab7611210922c45922dae45182.png)
2) Стандартные коммутационные соотношения следует записать так:
![$[\phi(x), \pi(x')] = i \delta^3 (x - x')$ $[\phi(x), \pi(x')] = i \delta^3 (x - x')$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/b/20bd1cd8a7fcc081a6959dcb99190d1882.png)
(пространство трехмерное, так что под

понимается именно 3 координаты).
![$[\phi^* (x), \pi^* (x')] = i \delta^3 (x - x')$ $[\phi^* (x), \pi^* (x')] = i \delta^3 (x - x')$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/7/8b7a119129356e99fcb44320b7528fed82.png)
Все остальное коммутирует друг с другом.
3) Гейзенберговские уравнения движения (запишем только для

, так как другое уравнение получится с помощью сопряжения):
![$i \frac{\partial \phi}{\partial t} = [\phi, H]$ $i \frac{\partial \phi}{\partial t} = [\phi, H]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/d/ccd1c4b4b2720cb08c7e6e505654b6e982.png)
![$i \frac{\partial \pi}{\partial t} = [\pi, H]$ $i \frac{\partial \pi}{\partial t} = [\pi, H]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/0/6902eb3d4ffe1facd3ed3c9e5921345982.png)
Нетривиальным здесь является вычисления коммутаторов, к чему и переходим:
![$[\phi, H] = [\phi(x), \int d^3 x' (\pi^{*}\pi + \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)] = [\phi(x), \int d^3 x'(\pi^{*}\pi)] = \ = \int d^3 x' [\phi(x), \pi^* (x') \pi(x')] = \int d^3 x' \pi^* (x') i \delta^3 (x - x') = i \pi^* (x)$ $[\phi, H] = [\phi(x), \int d^3 x' (\pi^{*}\pi + \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)] = [\phi(x), \int d^3 x'(\pi^{*}\pi)] = \ = \int d^3 x' [\phi(x), \pi^* (x') \pi(x')] = \int d^3 x' \pi^* (x') i \delta^3 (x - x') = i \pi^* (x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/2/402f72b3203422f64c4e7bb2cd65bd4182.png)
Во многом аналогично вычисляется такой же коммутатор для импульса:
![$[\pi^* (x), H] = [\pi^* (x), \int d^3 x' (\pi^{*}\pi + \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)] = [\pi^* (x), \int d^3 x' (\nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)] = \int d^3 x' [\pi^* (x), (\nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)]$ $[\pi^* (x), H] = [\pi^* (x), \int d^3 x' (\pi^{*}\pi + \nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)] = [\pi^* (x), \int d^3 x' (\nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)] = \int d^3 x' [\pi^* (x), (\nabla(\phi^{*})\nabla(\phi) + m^2 \phi^{*} \phi)]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/1/fa13a0dd488de981fff47fdb0dc70dbd82.png)
Честно говоря, не знаю как вычислить этот коммутатор. Ясно, что сопряженный импульс коммутирует с полем

, однако надо как-то выделить там вожделенный оператор

, который через дельта функцию приедет в точку

, тогда совместив два уравнения на импульс и координату мы получим искомое уравнение Клейна-Гордона.