Равномерная ограниченность функц. посл-сти

[Женисбек]

$f_n(x)\rightarrow f(x)$ поточечно на $[a,b]$
$f_n(x), f(x)\in C[a,b]$
$f_n(x)>0, f(x)>0, x\in[a,b]$

Будет ли последовательность $\{f_n(x)\}$ равномерно ограниченной?

[AD]

Достаточно модифицировать предыдущий пример, взяв $\tilde f_n(x)=ng(nx)$.

[Narn]

Женисбек писал(а):

$f_n(x)\rightarrow f(x)$ поточечно на $[a,b]$
$f_n(x), f(x)\in C[a,b]$
$f_n(x)>0, f(x)>0, x\in[a,b]$

Будет ли последовательность $\{f_n(x)\}$ равномерно ограниченной?

Нет, конечно. Можно даже пример AD из соседней темы модифицировать. И бесконечная гладкость не спасет.

Автор опередил

[AD]

RIP подсказал (спасибо), что автор потребовал строгую положительность функций $f_n$. Поэтому надо брать $\tilde{\tilde{f}}_n=\tilde f_n+1$.

Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды:

[наводка] Слушайте, ведь все функции из $C[a,b]$, встречающиеся в приложениях, обычно аналитичны. А тут такие примеры строить уже гораздо труднее.

[RIP]

$f_n(x)=nx^n(1-x^n)+1,x\in[0;1].$

[Женисбек]

Понял, спасибо за быстрые ответы!